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講演者: István Pink (University of Debrecen)
日時: 2021年4月17日(土)16:00から
タイトル: Number of solutions to a special type of unit equations in two unknowns
アブストラクト: For any fixed coprime positive integers a,b and c with min{a,b,c}>1, we prove that the equation a^x+b^y=c^z has at most two solutions in positive integers x,y and z, except for one specific case which exactly gives three such solutions. Our result is essentially sharp in the sense that there are infinitely many examples allowing the equation to have two solutions in positive integers. From the viewpoint of a well-known generalization of Fermat's equation, it is also regarded as a 3-variable generalization of the celebrated theorem of Bennett (2001) which asserts that Pillai's type equation a^x-b^y=c has at most two solutions in positive integers x and y for any fixed positive integers a,b and c with min{a,b}>1. In this talk we give a brief summary of corresponding earlier results and present the main improvements leading to this definitive result. This is a joint work with Takafumi Miyazaki (Gunma University).
講演者: 藤田育嗣 (日本大学生産工学部)
日時: 2021年5月22日(土)16:00から
タイトル: 楕円曲線の整数点とMordel-Weil 群の生成元について
(Integral points and generators for the Mordell-Weil groups of elliptic curves)
アブストラクト: Abstract
講演者: 武田 渉 (東京理科大学)
日時: 2021年6月19日(土)16:00から
タイトル: Transcendence of the iterated exponential of algebraic numbers
アブストラクト: 同じ代数的数Aを無限回べきに繰り返し乗せた数列 A, A^A, A^{A^A},...の 収束先h(A)の超越性について考察をする.この収束先の超越性については2010年に SondowとMarquesによって, Aが有理数と特別な代数的数のときに超越数かどうかは判別されている. 今回, 新しい関数を導入することにより, 彼らの結果を拡張することに成功した. また, 無限反復べき乗が代数的数h(A)に収束する代数的数Aの個数の漸近式や そのような代数的数の分布に関する結果も得たため, それらについてもお話しする. そして講演の最後に最近の進捗や今後の問題についてもお話する. 本講演は小林弘京氏(名古屋大学)と齋藤耕太氏(名古屋大学)との共同研究に基づく.
Abstract: We study the transcendence of the limit h(A) of the sequence: A, A^A, A^{A^A},... In 2010, Sondow and Marques studied the case that A is rational numbers or algebraic numbers satisfying some special conditions. In this talk, we extend their results and give an asymptotic formula for the number of algebraic numbers A such that h(A) is algebraic. We also obtain the distribution of such algebraic numbers. In the end of this talk, we talk about our recent progress and future works. This is the joint work with Hirotaka Kobayashi(Nagoya University) and Kota Saito(Nagoya University).
講演者: 関 真一朗 (青山学院大学)
日時: 2021年7月17日(土)16:00から
タイトル: Green-Taoの定理の数体への一般化について
(On a generalization of the Green-Tao theorem to number fields)
アブストラクト: Green-Taoの定理（任意の長さの素数の等差数列が存在する）は 加法的整数論における金字塔である. Taoはこの定理のGauss数体版も証明しており, 一般の数体への拡張も可能だろうと予想していた. 一方で, 彼の証明はGauss数体の 類数が1であり, Gauss整数環の単数群が有限群であることに依存する形でなされており, 同じ状況であれば証明できると書いているものの, そのような数体は全部で10個しかない. 今回, 講演者は甲斐, 見村, 宗政, 吉野の各氏と共同で適切な議論を構築することにより, 一切の条件を付けることなくGreen-Taoの定理の一般の数体への拡張を証明することに 成功した. 講演の前半では先行研究を含む種々の結果を紹介し, 後半では証明の概略を オムニバス形式で各キーポイントに重点を置いて解説したい.
Abstract: The Green-Tao theorem which states that there exist arithmetic progressions of primes of arbitrary length is a milestone in additive number theory. Tao also proved a version of this theorem for the field of Gaussian numbers and conjectured that the Green-Tao theorem could be extended to the case of general number fields. On the other hand, his proof depends on the fact that the class number of the field of Gaussian numbers is 1 and the unit group of the ring of Gaussian integers is a finite group. Although he wrote that his proof is also likely to extend to other number fields if they are in the same situation, there are only ten such number fields. Recently, the speaker, in collaboration with Kai, Mimura, Munemasea, Yoshino, has succeeded in proving the Green-Tao theorem for general number fields without any conditions by constructing appropriate arguments. In the first half of the seminar, I will introduce various results including previous studies, and in the second half, I will explain the outline of the proof in an omnibus style with emphasis on each key point.
講演者: 鈴木雄太 (立教大学)
日時: 2021年9月25日(土)16:00から
タイトル: 偶奇の異なる友愛数について (On even-odd amicable numbers)
アブストラクト: 友愛数とは正の整数の組(A,B)であって, A,Bどちらも自分自身を除く約数の和を考えると もう片方に等しくなるもののことを言う. この友愛数に関して「偶奇の異なる組からなる友愛数は存在しないだろう」 という古くからの予想があるが, 現在でも未解決である. もし偶奇の異なる友愛数が存在すれば, 並び替えを除き, 奇数M,Nと正の整数aを用いて A=2^aM^2, B=N^2 と書けることが容易に分かる. したがって, 偶奇の異なる友愛数は友愛数全体のおおよそ「2次の部分集合」 ということができる. 本講演では, Pomeranceによる 友愛数の個数評価を偶奇の異なる友愛数に拡張し, 上に述べた「2次の部分集合」として 期待される評価を得る方法を紹介する. この評価はPollackにより先に注意されていた 偶奇の異なる友愛数の個数評価を 改善するものとなっている.
Abstract: A pair of positive integers (A,B) is called an amicable pair if the sum of all proper divisors of A equals B and the sum of all proper divisors of B equals A. It is one of the folklore conjectures that there is no amicable pair consisting of even and odd numbers. It is easy to see that if there is an even-odd amicable pair (A,B), then it should be of the form A=2^aM^2, B=N^2 with odd numbers M,N and a positive integer a up to permutation. Therefore, roughly speaking, even-odd amicable pairs are a "quadratic subclass" of the whole amicable pairs. In this talk, we extend the method of Pomerance to bound the number of amicable pairs to the even-odd amicable pairs and obtain an upper bound for the number of the even-odd amicable pairs which is naturally expected for the "quadratic subclass". This bound is an improvement of the former bound remarked by Pollack.
講演者: Dong Han KIM (Dongguk University)
日時: 2021年10月23日(土)16:00から
タイトル: On the repetition of Sturmian word and numbers with Sturmian expansions
アブストラクト: In this talk, we discuss repetition properties of Sturmian words in combinatorial ways. These combinatorial properties are applied to study irrationality exponents of numbers of Sturmian b-ary expansions and to construct a Cantor set without algebraic points except for the two end points. We then briefly survey the following results on the spectrum of irrationality exponent. We also consider the Lévy constant of numbers with Sturmian continued fraction expansions.
講演者: Yann Bugeaud (University of Strasbourg)
日時: 2021年11月13日(土)16:00から
タイトル: Combinatorial structure of Sturmian words and continued fraction expansions of Sturmian numbers
アブストラクト: Let $\theta$ be an irrational real number in $(0, 1)$. It is well-known that the characteristic Sturmian word of slope $\theta$ is the limit of a sequence of finite words $(M_k)_{k \ge 0}$, with $M_k$ of length $q_k$ (the denominator of the $k$-th convergent to $\theta$) being a suitable concatenation of copies of $M_{k-1}$ and one copy of $M_{k-2}$. We extend this to any Sturmian word. Let $b \ge 2$ be an integer. As an application, we give the continued fraction expansion of any real number $\xi$ whose $b$-ary expansion is a Sturmian word ${\bf x}$ over the alphabet $\{0, b-1\}$. This extends a classical result of B\"ohmer (1927) who considered only the case where ${\bf x}$ is characteristic. Consequently, we obtain a formula for the irrationality exponent of $\xi$ in terms of the slope and the intercept of ${\bf x}$. This is a joint work with Michel Laurent.
講演者: 黒沢 健 （東京理科大学）
日時: 2021年12月18日(土)16:00から
タイトル: Hone型連分数展開とその無理測度 (The Hone-type continued fraction expansion and its irrationality exponent)
アブストラクト: 本発表では, HoneやVaronaによって提案された連分数展開に対する 非正則連分数展開と無理測度について講演する。 第一部では非正則連分数展開について、 第二部ではその無理測度に ついて議論する。
Abstract: We give a generalization of the regular continued fraction expansions discovered by Hone and Varona. The continued fraction expansion we discuss is non-regular. In the first part of the talk, we introduce the expansion and move to the irrationality exponent of the continued fraction in the second part.
講演者: 井手 春希 （慶應義塾大学）
日時: 2022年1月22日(土)16:00から
タイトル: Algebraic independence of the values and the derivatives of a certain family of Lambert-type series
アブストラクト: Abstract
講演者: 野田 工 （日本大学）
日時: 2022年2月19日(土)16:00から
タイトル: Dirichlet-Hurwitz-Lerch 型 Eisenstein 級数の変換公式と漸近展開について
(Transformations and asymptotics for a class of Dirichlet-Hurwitz-Lerch Eisenstein series)
アブストラクト: Abstract
講演者: Stéphane Fischler (Universite Paris-Saclay)
日時: 2022年3月19日(土)16:00から
タイトル: Linear independence of odd zeta values using Siegel's lemma
アブストラクト: Conjecturally, 1 and all values of the Riemann zeta function at odd integers s ≥ 3 are linearly independent over the rationals (and these zeta values are, therefore, irrational). However, very few is known in this direction. Apéry proved in 1978 that ζ(3) is irrational; Ball-Rivoal proved in 2001 that for any ε >0, at least (1-ε) (log s) / (1+log 2) numbers among 1, ζ(3), ζ(5), ..., ζ(s) are linearly independent over the rationals, when s is odd and large enough in terms of ε. In this lecture we shall explain how this lower bound can be improved to 0.21 \sqrt{s/log s}. The strategy is to replace explicit constructions with the use of Siegel's lemma.