微分トポロジー '22
デーン手術
トポロジー連絡会議の支援するトポロジープロジェクトの一環として開催します。
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場所：オンライン
日時：2022年3月19日-21日
Keywords: デーン手術、双曲多様体、例外手術、ヒーゴールフレアホモロジー
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登録したが、Zoomアドレスが届かないなどの不備がありましたら、丹下(tange(あっとまーく)math.tsukuba.ac.jp)まで
お寄せください。
懇親会(未定)
確定講演者(敬称略)
- 茂手木公彦(日本大学)
- 市原一裕(日本大学)
- 伊藤哲也(京都大学)
- 蒲谷祐一(北見工業大学)
- 佐藤光樹(名城大学)
- 寺垣内政一(広島大学)
- 丹下基生(筑波大学)
- 山田裕一(電通大)
スケジュール(敬称略)
3/19(土) |
3/20(日) |
3/21(祝) | 4/5(火) |
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19:00--
Banquet |
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タイトルとアブストラクト
- 3/19(土)
- 茂手木 公彦 Dehn surgery on knots
デーン手術は1910年に、デーンによって編み出され
3次元トポロジーにおいて中心的な役割を担ってきた。
非常に多くのトピックがデーン手術と結びついている。
本講演では、デーン手術の歩んできた道を（あくまでも個人的な趣味で）紹介したいと思います。
動画
- 佐藤 光樹 Heegaard Floer理論におけるDehn手術公式とその応用(サーベイ)
Heegaard Floer理論では、結び目Kに対応づけられる2重フィルター付きFloer鎖複体から、Kの任意のスロープのDehn手術に対するFloerホモロジー群が計算可能であることが知られている。
本講演では、その手術公式を導出する過程と，手術公式のいくつかの応用について概説する。
また、近年のHendricks-Hom-Stoffregen-Zemkeによるinvolutive Heegaard Floer理論への手術公式の拡張についても言及する。
動画
- 伊藤 哲也 Heegaard Floer homologyとcosmetic surgery：近年の発展の概説
近年Heegaard Floer homologyを用いることにより
(purely/chirally) cosmetic surgeryの研究が大きく進展している。
ここでは、Heegaard Floer homologyがcosmetic surgeryに応用されるのか、
特にHanselmanの結果について、
(Heegaard Floer homologyの技術的な部分や証明の詳細は講演者は完全に把握できていないものの)
その背景にあるHeegaard Floer homologyの諸結果、特に
immersed curveによるKnot Floer homologyの表示などを含めて説明する。
動画
- 3/20(日)
- 茂手木 公彦 Dehn surgery on knots
デーン手術は1910年に、デーンによって編み出され
3次元トポロジーにおいて中心的な役割を担ってきた。
非常に多くのトピックがデーン手術と結びついている。
本講演では、デーン手術の歩んできた道を（あくまでも個人的な趣味で）紹介したいと思います。
動画
- 市原 一裕 双曲デーン手術定理とその精密化（サーベイ）
Thurston の双曲デーン手術定理、および、その精密化や亜種について、それらの関係や流れ、応用についての概要を説明する。
動画
- 伊藤 哲也 LaminationとDehn surgery：速習耳学問コース
三次元多様体のLaminationは、foliation及び三次元多様体内の曲面を
包括的に一般化する対象であり、三次元多様体を調べる際の強力な道具を与える。
ここでは、Lamainationの理論の概要をその技術的部分に深く立ち入らずに
2次元のNielsen-Thurston理論の拡張（アナロジー）としての立場から説明し、
Dehn surgeryへの応用を解説する。
動画
- 蒲谷 祐一 Culler-Shalen理論の概説
Culler-Shalen理論を一言で説明するならば，結び目の補空間の圧縮不可能曲面 (incompressible surface) を見つける技術，といえる。もう少し具体的には，結び目群の SL(2,C)表現のなす空間の中にあるアファイン代数曲線とその無限遠点 (ideal point) から圧縮不可能曲面を見つける技術である。結び目の補空間の圧縮不可能曲面をなぜ研究するのかについて様々な説明ができると思うが今回それはしない。代わりに，Culler-Shalen理論の解説を，Cyclic surgery theorem の証明でどのように使われるかを念頭にしようと思う。
Cyclic surgery theorem (Culler-Gordon-Luecke-Shalen)
「結び目（トーラス結び目を除く）のDehn 手術で基本群が巡回群になるスロープ達の交点数は1以下である。」（よって自明なもの 1/0 の他に高々2つのとなりあう整数しかない。）
動画
- 寺垣内 政一 L-space knotの形式的半群について
L-space knotに対して，そのAlexander polynomialから容易に定義される形式的半群という概念がある．
Krcatovichによるreduced knot Floer complexの生成元のgradingの情報に対応しているものでもある．
torus knotやcable knotに対して，形式的半群の構造はよく理解されているが，hyperbolic L-space knotに対しては情報がない．
本講演では，その分析の初歩的な段階を紹介し，doubly primitive knot，特にBerge knotのタイプに応じた分析を述べる．
動画
- 3/21(祝)
- 丹下 基生 レンズ空間実現問題
2010年J. Greeneによってレンズ空間実現問題が解決された。その概要を話す。
動画
- 山田 裕一 Topics around Type 7 and 8 knots of Berge’s lens space surgery
例外的 Dehn surgery 中でもレンズ空間手術はその典型例と言えるだろう．筆者はそのうち特に、Berge によって「genus 1 のfiber surface に載る knots」「Type 7, 8 knots」と名付けられた knots の族に興味を持って調べてきた．そのいくつかを振り返り，最近勉強したことを紹介したい．
筆者は，元は ４次元多様体の Kirby計算を利用して具体的な多様体（意外性のあるもの）を構成することを目指していました．長い寄り道の途中です．
動画
- 4/5(火)
- 蒲谷 祐一 Culler-Shalen理論の概説（微分トポロジー ’22の続き
（3月20日の微分トポロジー ’22の講演の続きです。以下はその際のアブストラクトです。）
Culler-Shalen理論を一言で説明するならば，結び目の補空間の圧縮不可能曲面 (incompressible surface) を見つける技術，といえる。
もう少し具体的には，結び目群の SL(2,C)表現のなす空間の中にあるアファイン代数曲線とその無限遠点 (ideal point) から圧縮不可能曲面を見つける技術である。
結び目の補空間の圧縮不可能曲面をなぜ研究するのかについて様々な説明ができると思うが今回それはしない。
代わりに，Culler-Shalen理論の解説を，Cyclic surgery theorem の証明でどのように使われるかを念頭にしようと思う。
Cyclic surgery theorem (Culler-Gordon-Luecke-Shalen) 「結び目（トーラス結び目を除く）のDehn 手術で基本群が巡回群になるスロープ達の交点数は1以下である。」
（よって自明なもの 1/0 の他に高々2つのとなりあう整数しかない。）
動画
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ノート類
この研究集会は
- 令和3年度学術学研究費補助金(基盤研究(C))「多様体のハンドル分解やデーン手術に関するある問題解決」(研究代表者:丹下基生、課題番号21K03216)
から支援が与えられます。
世話人：安部哲哉（立命館大学）, 丹下基生（筑波大学）
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