- p.57 下から 6行目
\(B(f(a),\epsilon)\)を\(B(\varphi_A(a),\epsilon)\)に訂正。 - p.58 定義2.8の中
\((X,\mathcal{O}_Y)\)を\((X,\mathcal{O}_X)\)に訂正。 - p.60 2行目
\((f^{-1})^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X\) を \((f^{-1})^{-1}(U)\in \mathcal{O}_Y\) と修正。 - p.60 例題2.21の解答の3行目
\((f\circ g)^{-1}(U)\)は\((g\circ f)^{-1}(U)\)に修正。 - p.65 8行目
部分集合\(A\subset X\)の孤立点\(x\)の定義は以下のように修正。
開集合系の場合：\(\exists U\in\mathcal{O}(A\cap U=\{x\})\)
つまり、\(\{x\}\in\mathcal{O}_A\)
(\(\mathcal{O}_A\)は\(\mathcal{O}\)の\(A\)における相対位相.)
近傍系の場合：\(\exists V\in \mathcal{N}(x)(A\cap V=\{x\})\) - p.73 14,15行目
\(d^1\) は \(d_1\) の間違い。 - p.74 例題2.42の解答の3行目
\(A\cap_{k=1}^nU_k\)は\(A\cap(\cap_{k=1}^nU_k)\)に訂正。 - p.75 定義2.20の中
\(\mathcal{O}_1\times \cdots\times \mathcal{O}_i\)は\(\mathcal{O}_1\times \cdots\times \mathcal{O}_n\)に訂正。 - p.76 例題2.46の解答の2行目
「開基\(U_1\times U_2\)」を「開基の元\(U_1\times U_2\)」に訂正。 - p.81 脚注45)
\([0,2)\)を\([0,3)\)に変える。 - p.90 下から5行目
\(U,V\in \mathcal{O}\)を\(\forall U,V\in \mathcal{O}\)に変える - p.91 例題3.2の解答
「\(f\) の連続性から....連結である.」の部分を下に入れ替える。
\(f\)の \(A\) への制限写像を \(f|_A:A\to Y\) とする.\(f\) の連続性から、\(f|_A\) も連続である. \(f|_{A}^{-1}(B)\in \mathcal{O}_A\cap \mathcal{C}_A\) であり、 \(f|_A^{-1}(B)\neq \emptyset\) であるから、\(A\) の連結性から \(f|_A^{-1}(B)=A\). つまり、\(B=f|_A(A)=f(A)\) であるから \(f(A)\) は連結である。
\(A\subset X\) の包含写像 \(i:A\hookrightarrow X\) に対して \(f|_A:=f\circ i:A\hookrightarrow X\to Y\) のことである。 - p.120の例題3.50の解答
解答の８行目
「コンパクト性からある有限部分集合\(\{B_x(y_j)|j=1,\cdots,n_x\}\)は\(Y\)の被覆となる。 このとき、\(V(x)=\cap_{j=1}^{n_x}A_{y_j}(x)\)とおくと....」
=>
「コンパクト性からある有限部分集合\(\{B_x(y_j^x)|j=1,\cdots,n_x\}\)は\(Y\)の被覆となる。 このとき、\(V(x)=\cap_{j=1}^{n_x}A_{y_j^x}(x)\)とおくと....」
解答の11行目
「\(x\in V(x_i)\)かつ\(y\in B_{x_i}(y_j)\)が存在し、」
=>
「\(x\in V(x_i)\)かつ\(y\in B_{x_i}(y_j^{x_i})\)が存在し、」
p.121 1行目
「\((x,y)\in V(x_i)\times B_{x_i}(y_i)\subset A_{y_j}(x_i)\times B_{x_i}(y_i)\subset U_{(x_i,y_j)}\)」
=>
「\((x,y)\in V(x_i)\times B_{x_i}(y_i^{x_i})\subset A_{y_j^{x_i}}(x_i)\times B_{x_i}(y_i^{x_i})\subset U_{(x_i,y_j^{x_i})}\)」
p.121 2行目
「\(\{U_{(x_i,y_j)}|1\le i\le s,1\le j\le n_{x_i}\}\)」
=>
「\(\{U_{(x_i,y_j^{x_i})}|1\le i\le s,1\le j\le n_{x_i}\}\)」
これまで多くの方に本書の間違い指摘くださいました。大変感謝しております。
- p.72 例2.16の「\(\langle\mathcal{B}\rangle=\mathcal{O}\)」の証明。
\(\mathcal{B}\) を位相空間 \((X,\mathcal{O})\) の開基とする。\(\mathcal{B}\) の有限共通集合全体の集合を \(\mathcal{B}'\) とおく。 このとき、 \(\mathcal{B}'\) を開基とする位相を \(\mathcal{O}'\) とおくと、例題2.40から \(\langle\mathcal{B}\rangle=\mathcal{O}'\) となる。 \(\mathcal{B}\subset \mathcal{O}\) であることから、開集合系の条件(II)より \(\mathcal{B}\) の任意の有限共通集合は \(\mathcal{O}\) の元であるから \(\mathcal{B}'\subset \mathcal{O}\) が成り立つ。 また、開集合系の条件(III)を使うと \(\mathcal{O}'\subset\mathcal{O}\) が成り立つ。 [なぜなら、\(\mathcal{O}'\) の任意の元 \(U\) は、\(U=\cup_{\lambda\in \Lambda}B_\lambda\) として書くことができる。 ただし、\(\forall \lambda\in \Lambda\) に対して \(B_\lambda\in \mathcal{B}'\) である。 \(B_\lambda\in \mathcal{B}'\subset \mathcal{O}\) であるから開集合系の条件(III)から \(U\in \mathcal{O}\) がいえる。]
一方、\(\mathcal{B}\subset\mathcal{B}'\) であるから、それらの和集合として開集合全体として、\(\mathcal{O}\subset\mathcal{O}'\) が得られる。
以上のことから、\(\mathcal{O}=\mathcal{O}'\) がいえる。 \(\mathcal{O}'=\langle\mathcal{B}\rangle\) であったから、\(\langle\mathcal{B}\rangle=\mathcal{O}\) がわかる。\(\Box\)
- 例題3.50の解答の図解
