「明解 線形代数（日本評論社）」第１版第８刷の情報

ここでは第１版第８刷の情報をお届けしています。
最先端の代数学を専門的に研究してきた筑波大学の教授４名が、 長年に亘る教育と研究の経験を生かして、 線形代数の初歩から高度な理論までを徹底的に分かり易く 書き下ろした作品です。全員で幾度も議論を重ねながら、 可能な限り丁寧に解説することに努めました。 実は原稿では第10章も準備されていましたが、 ページ数の関係で止む無くこの本からは削除されました。 同じ理由により演習問題の量もやや控えめになりましたが、 問題のための問題というよりも、 理論を理解する上で必要な良問を厳選しました。 皆様の御期待に十分に沿えるものと信じておりますが、 今後のために建設的な御批判を色々と頂戴できれば幸いです。 このページに記載されている事柄に関する責任は本書の著者に帰します。

このページのメニューは 「変更箇所一覧」・ 「暫定正誤表」・「補充問題」・「授業内容の例」・「著者の情報」・「執筆の裏話」 など。

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◎ 線形代数を一通り修得し、 さらに代数に興味を持たれた方には 『代数の魅力』 （数学書房）がお奨めです。 その情報は こちら 。

変更箇所一覧（７刷から８刷へ）

誤植を訂正しました。

● 第１版第７刷のページにある正誤表に掲載されている箇所は修正済です。

暫定正誤表

第１版第８刷（2013年12月30日発行）

章 頁 行・場所 誤（修正前） 　 正（修正後）
1 9 10 とくに 　 a, b (≠ 0) が
1 9 11 であるから， 　 である．より一般に，
1 9 13 がわかる． 　 と定める．
1 31 -1 (x1, … xn) ⇒ (x1, … , xn)
2 37 1 すなわち ⇒ [削除]
2 37 3 なっている． ⇒ なる．
2 37 3 ならば，m = n = r ⇒ ならば，最終行が 0 とはなり得ないので，m = n = r
2 43 -8 という． ⇒ という．A を係数行列，(A|b) を拡大係数行列ともよぶ．
2 45 6 xk(i) = ⇒ xk(t) =
2 52 -6 そのときは明らか。 ⇒ そのときは定理2.5に注意すれば明らかである。
3 58 3 がある）1)． ⇒ がある）1)．本章（および次章）では，特に断らないかぎり，正方行列を扱う．
3 67 -6 =Φ-1 ⇒ = Φ-1 [スペース挿入]
3 70 8・図3.2 [あみだくじ] ⇒ [下にも上と同じ番号を付記する]
3 80 -4 証明しよう． ⇒ 証明しよう．n = 2 の場合に雰囲気をつかむとよい．
3 82 2, 5 [２箇所] τ-1σ ⇒ σ ◦ τ-1
3 83 -2 はない． ⇒ はない．（系2.12，定理2.17，定理3.9，定理3.16 からも示される．）
3 97 1・図3.3 [あみだくじ] ⇒ [下にも上と同じ番号を付記する]
4 109 13 すなわち，複素数を考えている場合には，固有多項式は ⇒ 以下，小節 4.2.1 では複素数の範囲で考える．すなわち，固有多項式は
4 109 14 １つであることを忘れないこと）． ⇒ １つである）．
5 133 1 連立１次同次方程式 ⇒ 斉次の連立１次方程式
解答 273 1 同形 ⇒ 同型

(注) 行の欄で -m とあるのは下から m 行目という意味。
(注) [注：・・・] は修正についてのコメント。

補充解説

◎定理 3.9（p.78）
A = (aij) を n 次行列とし、 B = (bij) を A の第 s 行と第 t 行を交換したものとする。 A の行列式の中の置換 σ に対応した項を
a1,σ(1) a2,σ(2) … an,σ(n) = a1,j1 … as,js … at,jt … an,jn
とし、τ = σ ◦ (s,t) とおくとき、B の行列式の中の σ に対応した項は
b1,σ(1) b2,σ(2) … bn,σ(n) = a1,j1 … at,js … as,jt … an,jn = a1,τ(1) a2,τ(2) … an,τ(n)
となる。このとき、ε(σ) = －ε(τ) に注意すれば
|B| = ∑σ ∈ Sn ε(σ) b1,σ(1) b2,σ(2) … bn,σ(n) = ∑σ ∈ Sn, τ = σ ◦ (s,t) ε(σ) a1,τ(1) a2,τ(2) … an,τ(n)
= - ∑τ ∈ Sn ε(τ) a1,τ(1) a2,τ(2) … an,τ(n) = - |A|
を得る。ここで、σ が置換全体を動くとき、τ も置換全体を動くことを用いた。

補充問題

◎第２章の章末問題へ補充（p.56）
問題７
連立１次方程式 (*) Ax = b に対し、rank A = rank (A | b) と仮定する。 (*) の解 x0を１つ選び固定する（これを特殊解とよぶ）。 また、斉次の連立１次方程式 (**) Ax = 0 の基本解を u1, … , us とする。 このとき、(*) の一般解は x = x0 + c1u1 + … + csus (ci ∈ K) で与えられることを示せ。

問題７の解答
(*) の一般解 x に対し、 x - x0 は (**) の解なので、 x - x0 = c1u1 + … + csus の形に書ける。これより、題意は示される。

◎第４章の章末問題へ補充（p.121）
問題５
A を n 次正方行列とし、異なる n 個の固有値 α1, ... ,αn をもつとする。A の各固有値 αi に対して、固有ベクトル vi を適当に選ぶ。
(1) v1, ... ,vn は線形独立であること、すなわち それらを列に並べた n 次正方行列 B = (v1, ... ,vn) は正則行列であることを示せ。
(2) α1, ... ,αn を順に並べた対角行列を
C = ( α1
　
　		 •
　		 •
•		 　
　
αn		 )
とおくとき、AB = BC すなわち B-1AB = C となることを示せ。

問題５解答
(1) c1v1 + … + cnvn = 0 とする。 ここで Pi = (A - α1E) … (A - αi-1E)(A - αi+1E) … (A - αnE) とおけば、 Pi(c1v1 + … + cnvn) = ci(αi - α1) … (αi - αi-1) (αi - αi+1) … (αi - αn) vi = 0 となり、これより ci = 0 が得られる。 従って、v1, ... , vn は線形独立である。 特に、系2.12 と定理2.14 により、B は正則行列となる。
(2) 条件より AB = A(v1, ... , vn) = (Av1, ... , Avn) = (α1v1, ... , αnvn) = BC すなわち AB = BC なので、正則行列 B の逆行列 B-1 を左から掛けることにより B-1AB = C を得る。

◎第５章の章末問題へ改良と補充（p.132-133）
問題１
行列 A ∈ M(l,m;K), B ∈ M(m,n;K), C ∈ M(l,n;K) に対して、 LA o LB = LC ⇔ AB = C を示せ。

問題１解答
LA o LB = LC ⇔ LA o LB(x) = LC(x) (∀ x ∈ Kn) ⇔ A(Bx) = Cx (∀ x ∈ Kn) ⇔ (AB)x = Cx (∀ x ∈ Kn) ⇔ (AB)ej = Cej (∀ j = 1, ... , n) ⇔ AB の第 j 列 = C の第 j 列 (∀ j = 1, ... , n) ⇔ AB の (i,j) 成分 = C の (i,j) 成分 (∀ i = 1, ... , l, ∀ j = 1, ... , n) ⇔ AB = C

問題８
今までと同じ記号の下で、 f = LA ∈ End(Kn) , A ∈ M(n,K) とするとき、 次の４条件は全て同値であることを示せ。
(1) f は単射である。
(2) f は全射である。
(3) f は全単射である。
(4) A は正則行列である。

問題８解答
(1) ⇔ (4) : f が単射 ⇔ Ker f = {0} ⇔ Ax = 0 の解が x = 0 のみ ⇔ rank A = n (定理 2.10 より) ⇔ A は正則行列 (系2.12 より)
(4) ⇒ (2) : A が正則行列なら b ∈ Kn に対して a = A-1b とおけば f(a) = b が成り立つ。
(2) ⇒ (4) : f(xi) = ei をみたす xi ∈ Kn が存在する。 X = (x1, ... , xn) とおけば、AX = (Ax1, ... , Axn) = (e1, ... , en) = E となる。 系2.13 より A は正則行列。
(3) ⇔ (4) : もはや明らか。

◎第６章の章末問題へ補充（p.184）
問題９
有限次元ベクトル空間 V の線形変換 f と、 V の１つの基底 v1, ... ,vn および V の別の基底 w1, ... ,wn に対して、 基底の変換行列 P = (pij) を
(w1, ... ,wn) = (v1, ... ,vn) P　
で定め、また f の表現行列 A, B をそれぞれ
(f(v1), ... ,f(vn)) = (v1, ... ,vn) A
と
(f(w1), ... ,f(wn)) = (w1, ... ,wn) B
で与える。このとき、B = P-1 A P となることを示せ。

問題９解答
(v1, .. , vn)AP = (f(v1), ... , f(vn))P = (∑k=1n pk1 f(vk), ... , ∑k=1n pkn f(vk)) = (f(∑k=1n pk1 vk), ... , f(∑k=1n pkn vk)) = (f(w1), ... , f(wn)) = (w1, ... , wn)B = (v1, ... , vn)PB より、AP = PB さらに B = P-1AP を得る。

問題１０
有限次元ベクトル空間 V の線形変換 f が、 V の部分空間 W に対して f(W) ⊂ W を満たすならば、 V の適当な基底に関して f の表現行列は
( A
O		 B
C		 )
の形になることを示せ。 ただし、A ∈ M(r,K) , r = dim W とする。

問題１０解答
w1, ... , wr を W の基底とし、 それを拡張して V の基底 w1, ... , wr, ur+1, ... , un が得られているものとする。 このとき (f(w1), ... , f(wr), f(ur+1), ... , f(un)) = (w1, ... , wr, ur+1, ... , un) T で与えられる表現行列 T は f(W) ⊂ W により求める形となる。 すなわち、f(wi) における uj の係数は 0 でなければならない。

問題１１
有限次元ベクトル空間 V が部分空間 W と U の直和
V = W ⊕ U
であり、 V の線形変換 f が f(W) ⊂ W かつ f(U) ⊂ U を満たすならば、 V の適当な基底に関して f の表現行列は
( A
O		 O
B		 )
の形になることを示せ。 ただし、A ∈ M(r,K) , r = dim W とする。

問題１１解答
問題１０において、 さらに ur+1, ... , un が U の基底であるという条件を加味する。 そのとき、f(U) ⊂ U も成り立つので、 f(uj) における wi の係数は 0 でなければならない。 よって、f の表現行列は求める形となる。

◎第７章の章末問題へ改良（p.199-201）
問題１（３）
n 次正方行列 A, B に対して、n 次正則行列 P, Q をうまく選んで
A' = P A Q = ( Er
O		 O
O		 ) , B' = Q-1 B P-1, r = rank A
と変形する。このとき、 ΦAB(x) = ΦA'B'(x) = ΦB'A'(x) = ΦBA(x) を示せ。
（別証が例題 9.1 にもある。）

問題１（３）解答
（定理2.7 より，条件をみたす正則行列 P, Q は存在している。） 7.3節における議論より、 ΦAB(x) = ΦA'B'(x) かつ ΦB'A'(x) = ΦBA(x) が成り立つ。 一方、A' のブロック分割に合わせて、
B' = ( R
T		 S
U		 )
と分割しておく。このとき、
A'B' = ( R
O		 S
O		 )
なので、補題3.7 に注意すれば、 ΦA'B'(x) = xn-rΦR(x) が成り立つ。 同様に、
B'A' = ( R
T		 O
O		 )
なので、ΦB'A'(x) = xn-rΦR(x) が成り立つ。 以上より、ΦA'B'(x) = ΦB'A'(x) となり、 先のことと合わせて題意が示された。

問題９解答
与えられた f ∈ End(V) の相異なる固有値全体を α1, ... ,αr とするとき、定理7.11に注意すれば、 仮定より V は f の固有空間 Vαi の直和
V = Vα1 ⊕ ... ⊕ Vαr
と書けている。 ここで Wαi = W ∩ Vαi とおき、各 i = 1,2, ... ,r に対して fi = (f - α1I)...(f - αi-1I) (f - αi+1I)...(f - αrI) と定める。さて、任意の元 w ∈ W に対し w = v1 + ... + vr (vi ∈ Vαi) と書き表すとき、 fi(w) = (αi-α1) ... (αi-αi-1) (αi-αi+1) ... (αi-αr) vi ∈ W を得る。これより vi ∈ Wαi が成り立つ。従って
W = Wα1 ⊕ ... ⊕ Wαr
であり、再び定理7.11に注意すれば、これは f|W ∈ End(W) が半単純であることを 意味している。 （第９章で広義固有空間を学ぶと、 より簡潔な証明が得られるので、各自試みられよ。）

◎第９章の章末問題へ改良と補充（p.249-250）
問題６
α を f の１つの固有値とする。 広義固有空間 V( α ) が r 次元ならば Im(f - α )r = Im(f - α )r+1 および Ker(f - α )r = V( α ) であることを示せ。

問題６解答
[修正前]　= V'.　⇒　 [修正後]　= V'． 従ってとくに Ker(f - α )r = V( α ) も成り立つ．

問題１０
複素２次行列
A = ( a
c		 b
d		 )
が
( α
0		 1
α		 )
の形のジョルダン標準形をもつための条件を求め、 そのときの A の加法的ジョルダン分解を求めよ。

問題１０解答
(i) b ≠ 0, c = 0, a = d; または (ii) b = 0, c ≠ 0, a = d; または (iii) bc ≠ 0, (a-d)2 + 4bc = 0 (i.e. tr(A)2 = 4det(A));
が求める条件となる。このとき
As = ( (a+d)/2
O		 O
(a+d)/2		 )
および
An = ( (a-d)/2
c		 b
(d-a)/2		 )
とおけば、A = As + An が加法的ジョルダン分解を与える。

問題１１
次の各行列のジョルダン標準形を求めよ。
(1) ( 2
0
0		 2
2
0		 2
2
3		 )
(2) ( -1
0
0		 -14
2
-1		 -10
1
0		 )
(3) ( 3
3
-4		 4
11
-13		 3
7
-8		 )
(4) ( 5
-8
8
20		 3
-3
4
8		 -6
12
-10
-27		 2
-4
3
8		 )


問題１１解答
(1) J2(2) ⊕ J1(3),　(2) J2(1) ⊕ J1(-1),　 (3) J3(2),　(4) J2(1) ⊕ J2(-1)
ただし、
X ⊕ Y = ( X
O		 O
Y		 )
とする。

筑波大学数学類における授業内容の例です。

平成２５年度より、 筑波大学が「春学期（１５週）・秋学期（１５週）」制度に移行しましたので、 カリキュラムが従来とは少し変更になります。 また、新指導要領により高等学校の授業内容も変わりますので、 平成２７年度からは、それに対応する必要もあります。 現在は二重の意味で移行期です。 なお、授業担当者により、進度や項目内容が若干異なる場合も有り得ます。

線形代数Ⅰ （１年次、３単位、春学期、７５分授業×週２回、全１５週、計３０回）
＜春学期＞
　　第１章　数ベクトルと行列（標準８回）
　　第２章　連立１次方程式と行列（標準５回）
　　第３章　行列式（標準９回）
　　第４章　行列式の発展（標準５回）
　　第５章　数ベクトル空間と線形写像（標準３回）

線形代数Ⅱ （１年次、1.5 単位、秋学期、７５分授業×週１回、全１５週、計１５回）
＜秋学期＞
　　第５章　数ベクトル空間と線形写像（復習兼：標準２回）
　　第６章　ベクトル空間と線形写像（標準１０回）
　　第７章　固有値と固有ベクトル（標準３回）

線形代数続論 （２年次、1.5 単位、春学期、７５分授業×週１回、全１５週、計１５回）
＜春学期＞
　　第７章　固有値と固有ベクトル（復習兼：標準２回）
　　第８章　幾何学的応用－２次曲面の分類と回転対称－（標準６回）
　　第９章　ジョルダン標準形（標準７回）

著者の情報

木村達雄/竹内光弘/宮本雅彦/森田 純　(50音順)
筑波大学数理物質系・教授（名誉教授も含む）

主な専門分野
木村 （概均質ベクトル空間・数論・代数幾何学など）
竹内 （量子群・ホップ代数・組紐カテゴリーなど）
宮本 （有限群・代数的組合せ論・頂点作用素代数など）
森田 （代数群・リー代数・準結晶数学など）

執筆の裏話

木村 『連立１次方程式の解き方などを最初に説明して線形代数の有用性をわかってもらう教科書を作りたいと思っていました。 代数学の教授４名で作って何回も打ち合わせをするうちに非常に仲良くなったのは思わぬ副産物でした。』

竹内 『p.214-p.216,p.271 の２次曲面の図は杉山和成さんにパソコンで作成して頂きました。 パソコンの得意な方は２次曲面を画面上で色々な方向から見たり、 パラメータを連続的に動かしたりして曲面の変化する様子を観察してみて下さい。』

宮本 『最初は、個々の先生がそれぞれの意見を持っていたので、 どうなるかと不安でしたが、 さすが同じ大学だけあって、 何回も話し合いをすることができました。 授業を担当していた先生方（や学生)の多くのアドバイスのお蔭もあり、 かなり統一的な考えで本が出来たと感じています(感謝)。』

森田 『原稿を書く時間が余り取れない中、 編集者の横山伸さんも含めたチームワークの良さで、 何とか発刊にまで漕ぎ着けることが出来ました。 本書を利用して下さる多くの方々に喜んで頂けることを期待しています。』
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