「明解 線形代数（日本評論社）」第１版第７刷の情報

ここでは第１版第７刷の情報をお届けしています。
最先端の代数学を専門的に研究してきた筑波大学の教授４名が、 長年に亘る教育と研究の経験を生かして、 線形代数の初歩から高度な理論までを徹底的に分かり易く 書き下ろした作品です。全員で幾度も議論を重ねながら、 可能な限り丁寧に解説することに努めました。 実は原稿では第10章も準備されていましたが、 ページ数の関係で止む無くこの本からは削除されました。 同じ理由により演習問題の量もやや控えめになりましたが、 問題のための問題というよりも、 理論を理解する上で必要な良問を厳選しました。 皆様の御期待に十分に沿えるものと信じておりますが、 今後のために建設的な御批判を色々と頂戴できれば幸いです。 このページに記載されている事柄に関する責任は本書の著者に帰します。

このページのメニューは 「変更箇所一覧」・ 「暫定正誤表」・「補充問題」・「授業内容の例」・「著者の情報」・「執筆の裏話」 など。

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◎ 線形代数を一通り修得し、 さらに代数に興味を持たれた方には 『代数の魅力』 （数学書房）がお奨めです。 その情報は こちら 。

変更箇所一覧（６刷から７刷へ）

誤植を訂正しました。

● 第１版第６刷のページにある正誤表に掲載されている箇所は修正済です。

暫定正誤表

第１版第７刷（2013年4月10日発行)

章 頁 行・場所 誤（修正前） 　 正（修正後）
6 160 2 表現行列求めよ ⇒ 表現行列を求めよ
　 　 　 　 ⇒ 　

(注) 行の欄で -m とあるのは下から m 行目という意味。
(注) [注：・・・] は修正についてのコメント。

補充問題

◎第４章の章末問題へ補充（p.121）
問題５
A を n 次正方行列とし、異なる n 個の固有値 α1, ... ,αn をもつとする。A の各固有値 αi に対して、固有ベクトル vi を適当に選ぶ。
(1) v1, ... ,vn は線形独立であること、すなわち それらを列に並べた n 次正方行列 B = (v1, ... ,vn) は正則行列であることを示せ。
(2) α1, ... ,αn を順に並べた対角行列を
C = ( α1
　
　		 •
　		 •
•		 　
　
αn		 )
とおくとき、AB = BC すなわち B-1AB = C となることを示せ。

◎第５章の章末問題へ改良と補充（p.132-133）
問題１
行列 A ∈ M(l,m;K), B ∈ M(m,n;K), C ∈ M(l,n;K) に対して、 LA o LB = LC ⇔ AB = C を示せ。

問題１解答
＜ヒント＞ A(Bx) = (AB)x であること、および L の単射性を用いる。

問題８
今までと同じ記号の下で、 f = LA ∈ End(Kn) , A ∈ M(n,K) とするとき、 次の４条件は全て同値であることを示せ。
(1) f は単射である。
(2) f は全射である。
(3) f は全単射である。
(4) A は正則行列である。

◎第６章の章末問題へ補充（p.184）
問題９
有限次元ベクトル空間 V の線形変換 f と、 V の１つの基底 v1, ... ,vn および V の別の基底 w1, ... ,wn に対して、 基底の変換行列 P を
(w1, ... ,wn) = (v1, ... ,vn) P　
で定め、また f の表現行列 A, B をそれぞれ
(f(v1), ... ,f(vn)) = (v1, ... ,vn) A
と
(f(w1), ... ,f(wn)) = (w1, ... ,wn) B
で与える。このとき、B = P-1 A P となることを示せ。

問題１０
有限次元ベクトル空間 V の線形変換 f が、 V の部分空間 W に対して f(W) ⊂ W を満たすならば、 V の適当な基底に関して f の表現行列は
( A
O		 B
C		 )
の形になることを示せ。 ただし、A ∈ M(r,K) , r = dim W とする。

問題１１
有限次元ベクトル空間 V が部分空間 W と U の直和
V = W ⊕ U
であり、 V の線形変換 f が f(W) ⊂ W かつ f(U) ⊂ U を満たすならば、 V の適当な基底に関して f の表現行列は
( A
O		 O
B		 )
の形になることを示せ。 ただし、A ∈ M(r,K) , r = dim W とする。

◎第７章の章末問題へ改良（p.199-201）
問題１（３）
n 次正方行列 A, B に対して、n 次正則行列 P, Q をうまく選んで
A' = P A Q = ( Er
O		 O
O		 ) , B' = Q-1 B P-1, r = rank A
と変形する。このとき、 ΦAB(x) = ΦA'B'(x) = ΦB'A'(x) = ΦBA(x) を示せ。
（別証が例題 9.1 にもある。）

問題９解答
与えられた f ∈ End(V) の相異なる固有値全体を α1, ... ,αr とするとき、定理7.11に注意すれば、 仮定より V は f の固有空間 Vαi の直和
V = Vα1 ⊕ ... ⊕ Vαr
と書けている。 ここで Wαi = W ∩ Vαi とおき、各 i = 1,2, ... ,r に対して fi = (f - α1I)...(f - αi-1I) (f - αi+1I)...(f - αrI) と定める。さて、任意の元 w ∈ W に対し w = v1 + ... + vr (vi ∈ Vαi) と書き表すとき、 fi(w) = (αi-α1) ... (αi-αi-1) (αi-αi+1) ... (αi-αr) vi ∈ W を得る。これより vi ∈ Wαi が成り立つ。従って
W = Wα1 ⊕ ... ⊕ Wαr
であり、再び定理7.11に注意すれば、これは f|W ∈ End(W) が半単純であることを 意味している。 （第９章で広義固有空間を学ぶと、 より簡潔な証明が得られるので、各自試みられよ。）

◎第９章の章末問題へ改良と補充（p.249-250）
問題６
α を f の１つの固有値とする。 広義固有空間 V( α ) が r 次元ならば Im(f - α )r = Im(f - α )r+1 および Ker(f - α )r = V( α ) であることを示せ。

問題１０
複素２次行列
A = ( a
c		 b
d		 )
が
( α
0		 1
α		 )
の形のジョルダン標準形をもつための条件を求め、 そのときの A の加法的ジョルダン分解を求めよ。

問題１１
次の各行列のジョルダン標準形を求めよ。
(1) ( 2
0
0		 2
2
0		 2
2
3		 )
(2) ( -1
0
0		 -14
2
-1		 -10
1
0		 )
(3) ( 3
3
-4		 4
11
-13		 3
7
-8		 )
(4) ( 5
-8
8
20		 3
-3
4
8		 -6
12
-10
-27		 2
-4
3
8		 )

筑波大学数学類における授業内容の例。 平成２５年度より、筑波大学が「春学期・秋学期制」に 移行しますので、カリキュラムが従来とは少し変更になりました。

線形代数Ⅰ （１年次、３単位、春学期、７５分授業×週２回、全１５週、計３０回）
＜春学期＞
　A モジュール（全５週、計１０回）
　　入門編　２次行列（平成２６年度までは高校の復習）
　　第１章　数ベクトルと行列
　B モジュール（全５週、計１０回）
　　第２章　連立１次方程式と行列
　　第３章　行列式
　C モジュール（全５週、計１０回）
　　第４章　行列式の発展
　　第５章　数ベクトル空間と線形写像

線形代数Ⅱ （１年次、1.5 単位、秋学期、７５分授業×週１回、全１５週、計１５回）
＜秋学期＞
　　第６章　ベクトル空間と線形写像
　　第７章　固有値と固有ベクトル

線形代数続論 （２年次、1.5 単位、春学期、７５分授業×週１回、全１５週、計１５回）
＜春学期＞
　　第８章　幾何学的応用－２次曲面の分類と回転対称－
　　第９章　ジョルダン標準形

著者の情報

木村達雄/竹内光弘/宮本雅彦/森田 純　(50音順)
筑波大学数理物質系・教授（名誉教授も含む）

主な専門分野
木村 （概均質ベクトル空間・数論・代数幾何学など）
竹内 （量子群・ホップ代数・組紐カテゴリーなど）
宮本 （有限群・代数的組合せ論・頂点作用素代数など）
森田 （代数群・リー代数・準結晶数学など）

執筆の裏話

木村 『連立１次方程式の解き方などを最初に説明して線形代数の有用性をわかってもらう 教科書を作りたいと思っていました。代数学の教授４名で作って何回も打ち合わせを するうちに非常に仲良くなったのは思わぬ副産物でした。』

竹内 『p.214-p.216,p.271 の２次曲面の図は杉山和成さんにパソコンで作成して 頂きました。パソコンの得意な方は２次曲面を画面上で色々な方向から見たり、 パラメータを連続的に動かしたりして曲面の変化する様子を観察してみて下さい。』

宮本 『最初は、個々の先生がそれぞれの意見を持っていたので、 どうなるかと不安でしたが、 さすが同じ大学だけあって、 何回も話し合いをすることができ、 授業を担当していた先生達（や学生)の多くのアドバイスのおかげで、 かなり統一的な考えで本が出来たと感じています(感謝)。』

森田 『原稿を書く時間が余り取れない中、 編集者の横山伸さんも含めたチームワークの良さで、 何とか発刊にまで漕ぎ着けることが出来ました。 本書を利用して下さる多くの方々に喜んで頂けることを期待しています。』
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