| 章 | 頁 | 行・場所 | 誤（修正前） | 正（修正後） | |
| 1 | 46 | 5 | (1,3)(3,4)H | ⇒ | (1,2)(3,4)H |
| 1 | 61 | 図1.18 | 左上に伸びる回転軸 | ⇒ | [注：裏側にある面から出ている様に修正] |
| 2 | 108 | 欄外追加 | ⇒ | 環の定義で (RG5) を仮定しない流儀もあり， また単位元 1 の存在を仮定しない流儀もあるので， 注意を要する。 | |
| 2 | 115 | -3 | e1 = ・・・ = en = ±1 となる． | ⇒ | e1 ・・・ en = ±1 であり， e1 = ・・・ = en = 1 となる． |
| 3 | 132 | 3 | 仮設 | ⇒ | 仮説 |
| 3 | 136 | 17 | α∈Fp と f(X) | ⇒ | α∈Fp および f(X) |
| 3 | 141 | -1 | Q(\sqrt{m}) | ⇒ | Q[\sqrt{m}] |
| 3 | 144 | -5 | Q(\sqrt{6}) 上線形独立でないことを示せ． | ⇒ | Q(\sqrt{6}) 上線形独立でないことを示せ （p.145 定義3.18 参照）． |
| 3 | 147 | -7 | とすると，n+1 個の | ⇒ | とすると（ただし，体とは限らない場合にも [Q[r]:Q] は Q[r] の Q 上の次元を表すものとする），n+1 個の |
| 3 | 148 | 1 | 有限拡大次数は代数的数 | ⇒ | 代数的数の条件 |
| 3 | 149 | 3 | Q[ξ] | ⇒ | Q[α] |
| 3 | 150 | 3 | x = y - a/3y | ⇒ | x = y - a/(3y) |
| 3 | 157 | -11 | 新しい交点（複素数 αi（i=1,...,n））を 求めることは |
⇒ | 半径 5/3 の２円（中心は ±4/3）の１交点を
α1 = \sqrt{-1} とすると，新しい交点（複素数 αi）を求めることは |
| 3 | 159 | 6 | Fn(X) = ∏d|n (Xn/d - 1)μ(d) | ⇒ | Fn(X) = ∏1≤i≤n,GCD(i,n)=1 (X - ξi) = ∏1≤d≤n,d|n (Xn/d - 1)μ(d) |
| 3 | 159 | 8 | μ(4)=0, | ⇒ | [削除] |
| 3 | 162 | -6 | )ω2 | ⇒ | ω2 |
| 3 | 171 | 16 | ずべて | ⇒ | すべて |
| 3 | 172 | -7 | 分解できる． | ⇒ | 分解できることである． |
| 4 | 188 | 2, 3 | B4 = 1/30 | ⇒ | B4 = -1/30 |
| 4 | 196 | 8 | m が t と | ⇒ | m が d と |
| 4 | 198 | 11 | )(n) | ⇒ | (n)) |
| 問題の略解 | 216 | 6 | A を得るが | ⇒ | A' を得るが | 問題の略解 | 217 | 16 | 前の 5. | ⇒ | 前の 3.12 | 問題の略解 | 217 | 17 | 前の 6. | ⇒ | 前の 3.13 |
のことであり、
-1 の平方根（２つある内のいずれか一方）を表す。
（ルート a すなわち２乗して a となる複素数）を表す。
| (1,0) | = | (266,69) | ( | 1 -3 |
0 1 |
) | ( | 1 0 |
-1 1 |
) | ( | 1 -5 |
0 1 |
) | ( | 1 0 |
-1 1 |
) | ( | 0 1 |
1 0 |
) | ( | 1 0 |
-9 1 |
) | = | (266,69) | ( | -7 27 |
69 -266 |
) |
を表す．）また，
Pn(X) = Xn - 1 =
∏1≤i≤n (X-ξni)
と置けば，
Pn(X) = ∏1≤c≤n,c|n (∏1≤i≤n,GCD(i,n)=c (X-ξni)) であり，
∏1≤i≤n,GCD(i,n)=c (X-ξni) = ∏1≤i'≤n/c,GCD(i',n/c)=1 (X-ξn/ci')
= Fn/c(X)
なので，
Pn(X) = ∏1≤c≤n,c|n Fn/c(X) = ∏1≤d≤n,d|n Fd(X)
を得る．従って，４章で議論されるメビウスの反転公式により
Fn(X) = ∏1≤d≤n,d|n (Xn/d - 1)μ(d) が成り立つ．
さらに，
Pn(X) = Fn(X) (∏1≤d≤n-1,d|n Fd(X)) を用いて，
Fn(X) ∈ Z[X] であることが（n に関する帰納法で）示される．
[例題 3.30] Fn(X) が既約でないと仮定する．
このとき，
Fn(X) = f1(X) … fr(X)
と r (≥ 2) 個の既約多項式の積に分解される（定理 2.22 を参照）．
必要があれば番号を付け替えて
f1(ξ) = 0
としてよい．補題 2.27 より，
f1(X) = cf1 f1*(X),
g(X) = f2(X) … fr(X)
= cgg*(X)
と書ける．ただし，
cf1, cg ∈ Q× であり，
f1*(X),g*(X) ∈ Z[X] は原始的とする．
このとき，
2 ≤ m ≤ n-1
なる m で，
GCD(m,n) = 1, f1(ξm) ≠ 0, g(ξm) = 0
をみたすものが選べる．この素因数分解を
m = q1 … qs
とする
（q1,…,qs には同じものが重複して出て来てもよい）．
これより，番号 t で
f1(ξq1…qt-1) = 0,
f1(ξq1…qt) ≠ 0,
g(ξq1…qt-1) ≠ 0,
g(ξq1…qt) = 0
をみたすものが存在する．
p = qt とおけば GCD(p,n) = 1 であり，また
ζ = ξq1…qt-1
とおけば，
f1(ζ) = 0, f1(ζp) ≠ 0,
g(ζ) ≠ 0, g(ζp) = 0
が成り立つ．そこで，
G(X) = g*(Xp) ∈ Z[X]
とおけば，今までのことより，
G(ζ) = 0, f1*(ζ) = 0
を得る．
定理 2.18 より，
I(G(X),f1(X)) = I(R(X)) ⊂ Q[X]
と表すことができ，
このとき R(X)|f1(X) であり，
さらに我々の仮定より f1(X) が既約なので，
R(X) = c または R(X) = c f1(X)
をみたす c ∈ Q× が存在する．
しかし，R(ζ) = 0 より R(X) = c f1(X)
とならざるを得ない．よって，
G(X) = f1(X) H(X)
をみたす H(X) ∈ Q[X]
が存在する．ここでも，
H(X) = cH H*(X)
と分解しておくと
（cH ∈ Q×
かつ H*(X) ∈ Z[X] は原始的），
補題 2.26 と補題 2.27 より
G(X) = f1*(X) H*(X)
が成立している．さて，
ここで得られた式（の係数）を mod p で考えたものに † を付記することにより，
Fp[X] = Z/pZ[X] ∋ (g*(X)†)p = g*(Xp)† = G(X)† = f1*(X)† H*(X)†
が導かれる．
（ここで，
Fp[X] において (u + v)p = up + vp
が，
Fp において wp = w が，それぞれ
成り立つことを用いた．定理 2.15, 2.16 を参照．）
従って，
Fp[X] における因数分解の一意性（２章の章末追加問題８）より，
deg q(X)† ≥ 1,
q(X)†|f1*(X)†,
q(X)†|g*(X)†
をみたす多項式
q(X)† ∈ Fp[X] = Z/pZ[X]
が存在する．
しかるに，Fp[X] = Z/pZ[X] = I(1) =
I((Xn-1)†,(nXn-1)†)
= I(Pn(X)†, DPn(X)†)
⊂ I(f1*(X)†,g*(X)†) ⊂ I(q(X)†)
となるので矛盾である．
（ただし，
D は２章の章末追加問題８で導入された Fp[X] の微分作用素である．）
以上より，Fn(X) の既約性が示された．
[定理 3.47:必要条件] 上での議論と同様にして
I(Fn(X)) = { f(X) ∈ Q[X] | f(ξ) = 0 }
が示されるので，同型
Q[X]/I(Fn(X)) → Q(ξ) = Q[ξ]
が X + I(Fn(X)) → ξ
なる対応により得られる（２章の章末問題２（１）を参照）．ゆえに，
[Q(ξ):Q] = dimQ Q(ξ) = dimQ Q[X]/I(Fn(X))
= deg Fn(X) = \varphi(n)
が成り立つ．
正 n 角形が定木とコンパスで作図可能であるならば，
n = 2e p1m1…prmr
と素因数分解したとき，
\varphi(n) = 2e-1p1m1-1(p1-1)…prmr-1(pr-1) = [Q(ξ):Q]
が２のベキでなければならず（3.5.2 節を参照），
m1 = ... = mr = 1
かつ
p1 - 1 = 2l1, ... , pr - 1 = 2lr が示される．
[定理 3.47:十分条件] p = 2m+1 をフェルマ素数とし，
ξ = ξp とおく．まず，
Fp(X) = Xp-1 + Xp-2 + … + X + 1
= (Xp - 1)/(X - 1) であることに注意する．
ここで，各 1 ≤ i ≤ p - 1 に対して，
Q(ξ) の場合と同じ理由で Q[X]/I(Fp(X)) → Q(ξi)
が同型なので，Q(ξ) の自己同型
σi : Q(ξ) → Q[X]/I(Fp(X)) → Q(ξi) = Q(ξ) を
σi(ξ) = ξi により定めることができる．
このとき，σiσj = σij (mod p) であるので，
{ σ1, ... ,σp-1 } は
Fp× = (Z/pZ)× = { 1, ... ,p-1 }
と同型な群となる．ここで，３章の章末問題７より，Fp×
は巡回群であるから，その生成元 s を選ぶ．σ = σs と置けば,
σの位数は 2m であり，ここでさらに
K = Q, L = Q(ξ),
Kk = { x ∈ L | σ2k(x) = x }
(1 ≤ k ≤ m) とおく．明らかに Km = L であり，
またσは Q(ξ) の基底 ξ,ξ2, ... ,ξp-1 を
適当な順序で全てを巡回的に置換していることに注意すれば，
Fp(X) の形から K0 = K となることも容易に言える．
もしも，Kk+1 ≠ Kk とすれば，
σ2k(uk+1) ≠ uk+1
なる uk+1 ∈ Kk+1 が存在し，
vk+1 = uk+1 - σ2k(uk+1) ≠ 0 とおけば，
σ2k(vk+1) = - vk+1
が成り立つ．このとき，
Kk+1 ∋ v = (v + σ2k(v))/2 +
(v - σ2k(v))/2 なので，
Kk+1 = Kk ⊕ Kk vk+1 と
（σ2k に対する固有値 ±1
の固有空間の直和に）
書き表すことができ，[Kk+1:Kk] = 2 を得る．
（さらに，[L:K] = 2m であることと，
中間体の列 K = K0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂
Km = L が [Kk+1:Kk] ≤ 2
を満たしていることに注意すれば，
定理 3.26 により，
全ての段階で [Kk+1:Kk] = 2 となっていることも示される．）
これにより，適当な ak ∈ Kk によって，
Kk+1 = Kk(\sqrt{ak}) と表すことができる（例題 3.21 を参照）．
従って，K = Q から出発して，次々と作図を続けて，
最終的に ξ = ξp を作図することができる．
すなわち，正 p 角形を作図することができる．
ここで，
正 n1 角形と正 n2 角形が作図可能であり
GCD(n1,n2) = 1 ならば
正 n1n2 角形も作図可能であることに注意しておく
（なぜなら，
I(1) = I(n12,n22) = I(n1(n1-n2)+n1n2,-n2(n1-n2)+n1n2) ⊂ I(n1-n2,n1n2) なので
GCD(n1-n2,n1n2) = 1
が成り立ち，ここで
a(n1-n2) + b(n1n2) = 1
と書いておけば，
a(2π/n2-2π/n1) + 2bπ
= 2π/n1n2 となり，
2π/n1n2 が作図できる）．また，
角の２等分の作図は何回でも続けて実行可能である．
従って，
n = 2ep1…pr (p1, ... , pr は相異なるフェルマ素数) と表されているときには，
定木とコンパスにより正 n 角形を作図することが可能である．
[補足] フェルマ素数は
3, 5, 17, 257, 65537 の５個しか知られていない．
これら以外では，
十分に大きな値まで調べても 2m + 1
の形で素数になるものは見つかっていない．
無限個あるのか，もしくは有限個しかないのかさえも解明できていない．
（本文中でも注意してあるように，m が奇数の約数 m' > 0 をもてば，
例えば (X + 1)|(Xm' + 1) という事実をみても，
2m + 1 が分解してしまうことが分かる．従って，
2m + 1 が素数であるためには，
m は少なくとも 2 ベキでなければならない．実際，
3 = 220 + 1；
5 = 221 + 1；
17 = 222 + 1；
257 = 223 + 1；
65537 = 224 + 1
であり，これらは素数となる．
フェルマは m が 2 ベキならば 2m + 1 は常に素数になるであろうと予想したが，
オイラーが 4294967297 = 225 + 1 = 641 × 6700417
となることを示した．
これ以降も（最近ではコンピュータを用いて）計算は試みられているが，
どんなに十分に大きな r > 5 に対しても
22r + 1 は分解してしまい，
新しいフェルマ素数は見つからずに現在に至っている．
フェルマ素数の名前はこの予想に由来している．）