%1/21
\documentstyle[11pt,a4j]{jarticle}
%
% 絵の記述のため下記の描画環境を用いています。そのため LaTeX2e の統合環境
% ではコンパイルできません。ASCII の WinTeX ならばコンパイルできます。
% LateX2e でコンパイルしたいときは下の３行をなくし、絵の部分を削除して下
% さい。
%

\include{prepictex}
\include{pictex}
\include{postpictex}

\title{多重ゼータ関数の初等理論}
\author{江上 繁樹}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\newtheorem{Th}{Theorem}[section]
\newtheorem{Def}[Th]{Definition}
\newtheorem{Cor}{Corollary}
\newtheorem{Lem}{Lemma}[section]
\newtheorem{Rem}{Remark}
\newtheorem{Problem}{問題}
\newtheorem{Example}{例}
\newcommand{\QED}{\hfill{\rule[-2pt]{3pt}{6pt}}}


%(１日目)
\section{Introduction}
この講義録は1998年11月に新潟大学で行った講義を新潟大学4年小池知裕氏がまとめてくださったものである。簡単に内容を説明すると、section 1でリーマンゼータ関数、フルビッツゼータ関数、ディリクレL関数の解析接続や特殊値に関するよく知られた初等的結果を結果を説明し、section 2 ではBarnesの多重ゼータ関数の解析的性質を解説した。この部分はBarnesの古い論文のかなりの部分をカバーしていると思う。section 3では新谷氏によるBarnesゼータの拡張と、私の研究も交えてDedekind和や実二次体のクロネッカー極限公式など数論的応用についてのべ、最後のsection 4では、最近話題になっているZagierの多重ゼータ関数が、新谷ゼータのsingular版と考えられることを述べ、フルビッツゼータ関数の二乗平均との関係について述べた。一応、解析的整数論の入門者を想定して話したが、ほとんどの部分は初歩的な複素解析（留数計算ができる程度）だけの知識で理解できると思う。
\par
多重ゼータ関数についての講義録はBarnesゼータ関数については黒川[Kur],Zagierゼータ関数については金子[Kan]などがすでにあるが、それらに比べて初等的な部分について述べたので、初等理論と断った。なお、多重ゼータ関数という用語については文献によって異なるので注意して欲しい。
\par
最後に
この講義をするよう薦めてくださった秋山茂樹氏、わかりにくい講義をまとめ、TeXで入力しててくださった小池知裕氏、講義を遠くから聴きにきてくださり、講義中有益な注意をくださった、谷川好男氏、松本耕二氏、木内功氏、野田工氏に深く感謝したい。
\section{Riemann zeta, Hurwitz zeta, and Dirichlet L}
\begin{flushleft} (Zeta関数) \end{flushleft} 
$s$ を複素数とし、

\[
f(s)= \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{a_n}{n^s}} \hspace{1cm} (Re(s)>C)
\]

のような形の無限級数のことを Dirichlet 級数という．
また、特に $Re(s)>1$ において絶対かつ広義一様収束する級数
\[
\zeta (s)= \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n^s}} 
\hspace{1cm} (Re(s)>1)
\]

をRiemann zeta 関数と呼ぶ．

\begin{flushleft} (Riemann zeta 関数の性質) \end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item 全平面に有理型に解析接続される．
$s=1$の１位の極（留数＝1）を除いて正則．
\item オイラー積（ Euler product ）
\[ \zeta (s)= \prod_{p}{(1-p^{-s})}^{-1}. \hspace{1cm} (Re(s)>1) \]　
を持つ．
\item $ \Lambda (s) = {\pi}^{-\frac{s}{2}} 
\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta (s). $とおくと
\[ \Lambda(1-s) = \Lambda(s). \]
が成立する．
\item 負整数点での値が良く分かる有理数．
\end{enumerate}
そこで、1,4の性質を持つより一般的なzeta 関数を定義する．

\begin{Def}[Hurwitz zeta 関数]
$ \alpha>0 $とし、無限級数
\[ \zeta(s,\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty} {{(n + \alpha)}^{-s}}. \]
を{\bf Hurwitz zeta 関数}という．
特に、$\zeta (s,1) = \zeta(s)$ 
\end{Def}

\begin{Th} \label{Th:Hurwitz}
$\zeta (s,\alpha)$ は全平面に有理型に解析接続され、
$s = 1$での１位の極（留数＝１）を除いて正則．
\end{Th}

{\it proof}
 
\[\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}{x^{s-1}}{e^{-x}}dx. 
\hspace{1cm} (Re(s)>1) \]
より

\begin{eqnarray*}
  \Gamma(s)\zeta(s,\alpha) 
      & = & \int_{0}^{\infty}{x^{s-1}}
            \sum_{n = 0}^{\infty} {{(n + \alpha)}^{-s}}{e^{-x}}dx. \\
      & = & \sum_{n = 0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
            \left(\frac{x}{n + \alpha}\right)^{s}
            e^{-x}\frac{dx}{x}.
\end{eqnarray*}
$y = \frac{x}{x + \alpha}$とおく．

\begin{eqnarray*}
& = & \sum_{n = 0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}{y^s}
      e^{-y(n + \alpha)}\frac{dy}{y}. \\
& = & \int_{0}^{\infty}{y^s}({\sum_{n = 0}^{\infty}e^{-yn}})
      e^{-y \alpha}\frac{dy}{y}. \\
& = & \int_{0}^{\infty}y^{s-1}\frac{e^{-\alpha y}}{1-e^{-y}} dy. 
\end{eqnarray*}
ここで、
\[I_1(s) = \int_{0}^{1}y^{s-1}\frac{e^{-\alpha y}}{1-e^{-y}} dy. \]
\[I_{\infty}(s) = \int_{1}^{\infty}y^{s-1}
\frac{e^{-\alpha y}}{1-e^{-y}} dy. \]
とおく．
$ I_{\infty}(s) $;全平面で絶対かつ広義一様収束する．
($ s $の整関数)
そこで、今
\[I_1(s) = \int_{0}^{1}y^{s-1}\frac{e^{-\alpha y}}{1-e^{-y}} dy. \]
を考える．
$ {(e^{-\alpha y})}/{(1-e^{-y})} $を$ y = 0 $でローラン展開すると

\begin{eqnarray*}
& = & \frac{1-\alpha y \cdots}{y + \cdots} 
    = \frac{1}{y} + \sum_{n = 0}^{\infty}
                    \frac{B_{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}
                    \cdot {(-1)}^{n+1}y^{n}. \\
& = & \frac{1}{y} + \sum_{n = 0}^{N}\frac{B_{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}
      \cdot {(-1)}^{n+1}y^{n} + R_{N}(y).
\end{eqnarray*}

このとき、

$ R_{N}(y) = O(y^{N+1}) \hspace{5mm} as \hspace{5mm} y \to \infty $
\[
I_1(s) = \int_{0}^{1}y^{s-2} dy + 
\sum_{n = 0}^{N}\frac{B_{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}\cdot {(-1)}^{n+1}
\int_{0}^{1}y^{s+n-1} dy + \int_{0}^{1}y^{s-1}R_{N}(y) dy.
\]
\[
= \frac{1}{s-1} +  \sum_{n = 0}^{N}
\frac{{(-1)}^{n+1}B_{n+1}(\alpha)}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{s+n} 
+ H_N(s)
\]
$ H_N(s) $ \ : \ $ Re(s)>-n-1 $で正則．

よって
\[ \zeta(s,\alpha) =  \frac{1}{\Gamma(s)}
(I_{\infty}(s) + H_N(s) + \frac{1}{s-1} + \sum_{n = 0}^{N}C_{n}(\alpha)
\cdot \frac{1}{s+n}) \]
$ N $は任意なので全平面へ有利型に解析接続される．
\[= \frac{1}{\Gamma(s)}\cdot \frac{1}{s-1} + 
    \sum_{n = 0}^{N}\frac{C_{n}(\alpha)}{\Gamma(s) (s+n)} + 
    \frac{1}{\Gamma(s)}(H_N(s) + I_{\infty}(s)) \]
$ 1/\Gamma(s) $ \ : \ Entire　\\
$ \Gamma(s) $ は $ s=0,-1,-2,\cdots $で１位の極を持つ．
$ s=1 $での（留数＝１）１位の極を除いて正則． 
\QED

\hspace{5mm}
\begin{Cor}
\[ \zeta(-n,\alpha) \ , \ n = 0 , 1 , 2 , \cdots \]
\[= \lim_{s \to {-n}} \frac{C_{n}(\alpha)}{\Gamma(s)(s+n)} 
= - \frac{B_{n+1}(\alpha)}{n+1} .\]
\end{Cor}

\begin{itemize}
\item {Bernoulli 数、Bernoulli plynominal}
\end{itemize}
二変数関数　$ G(t , x) $を
\[ G(t , x) = \frac{te^{tx}}{e^{t}-1} \]
と定義し、
\[ G(t) = G(t , 0) = \frac{t}{e^{t}-1} \]
とおくこのとき、
\[G(t , x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_{n}(x)}{n!} t^{n} \]
\[G(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!} x^{n} \]
と展開したときの $ B_{n}(x) $ , $ B_{n} $ をそれぞれ、
Bernoulli polynominal , Bernoulli数とよぶ\\

\begin{Problem}
次を示せ．
\begin{enumerate}
\item {$ B_{n} \in {\bf Q} $ \ , \  $ B_{2n+1} = 0 
\hspace{5mm} ( n=0,1,2,\cdots ) $}
\item {$ B_{n}(x) \in {\bf Q}[x] \, , \, \deg B_{n}(x) = n. $}
\item {$ B_{n}(x+1) - B_{n}(x) = nx^{n-1} . $}
\item {$ \frac{d}{dx} B_{n}(x) = nB_{n-1}(x). \hspace{1cm} n \ge 1 $}
\item {$ \displaystyle \sum_{k=1}^{N}k^{n} 
= \frac{B_{n+1}(N+1) - B_{n+1}(1)}{n+1} .$} 
\end{enumerate}
\end{Problem}

{\it Another proof of Theorem \ref{Th:Hurwitz}} (Hankel積分) 

\newcommand{\INTEGRAL}{x^{s-1}\frac{e^{-\alpha x}}{1-e^{-x}}dx}

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\INTEGRAL$
において
$ x^{s-1} $を{\bf C} $ \setminus $ \{ {\bf 0} \}
での多価関数と考える
正の実軸上で通常の値をとる

このとき、
\[ x^{s-1} = \frac{1}{x}e^{s\log x} \]
ただし、偏角は $ 0 \le \arg x < 2\pi $　\\  
%ここに図を入れる(無限遠点からゼロへ）
% C(\varepsilon)は全体
% K(\varepsilon)はその円周部分

\vspace{1cm}
\[
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1mm,1mm> 
\setplotarea x from -25 to 35, y from -30 to 30
\putrule from -25 0 to 35 0
\putrule from 0 -25 to 0 25
\circulararc 335 degrees from 5 1 center at 0 0
\putrule from 5 1 to 35 1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 20 1 to 15 1
\putrule from 5 -1 to 35 -1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 15 -1 to 20 -1 
\small
\put {$C(\varepsilon)$} at 17 5
\put {$K(\varepsilon)$} at -7 7
\endpicture
\]


ここで、$ C(\varepsilon) $に沿う積分
\[ \int_{C(\varepsilon)}^{}\INTEGRAL \hspace{1cm} (Re(s)>1) \]
を考える
\[ = \int_{K(\varepsilon)}^{}\INTEGRAL +
   (-1)\cdot\int_{\varepsilon}^{\infty}\INTEGRAL
   + e^{2\pi is}\int_{\varepsilon}^{\infty}\INTEGRAL \]

$\varepsilon \to 0$とする
\[= (e^{2\pi is}-1) \int_{0}^{\infty}\INTEGRAL \]

よって
\[ \int_{0}^{\infty}\INTEGRAL 
= \frac{1}{e^{2\pi is}-1}\int_{C(\varepsilon)}^{}\INTEGRAL \]

$\left( ここで、\displaystyle \int_{C(\varepsilon)}^{}\INTEGRAL 
は s の整関数 \right)$ \\

\begin{flushleft}
$\displaystyle \zeta(s,\alpha) = \frac{1}{\Gamma (s)(e^{2\pi is}-1)}
\int_{C(\varepsilon)}^{}\INTEGRAL$
\end{flushleft}
ここで、$ s = -n \hspace{1cm} (n=0,1,2,\cdots) $ のとき
積分は $ \displaystyle 
\int_{K(\varepsilon)}^{}x^{-n-1}\frac{e^{-\alpha x}}{1-e^{-x}}dx $
となり、留数計算で値が計算できる \\
\QED

\begin{flushleft} (Dirichlet L-関数) \end{flushleft}
$ q \in {\bf N} \ , \ 
\chi : \left( {\bf Z}/q{\bf Z} \right)^{\times} \longrightarrow 
\left\{ z \in {\bf C}  \mid  |z| = 1 \right\} $
: homomorphism \\
を指標（character）という 

$ \chi (mn \bmod q) = \chi (m \bmod q) \cdot \chi (n \bmod q) \\ $
$ \left(
    \begin{array}{@{\,}ll}
        \chi (n) = \chi (n \bmod q) & \mbox{$ (n,q) = 1 $ のとき} \\
        \chi (n) = 0 & \mbox{$ (n,q) \neq 1 $ のとき}
    \end{array}
\right) $
として $ \chi (n) $ を {\bf Z}上の関数として見る

また、$ \chi (n) = 0 $ or $ 1 $ のとき $ \chi $ を 
principal character という． 

このとき、
\[ L(s,\chi ) = 
\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{\chi (n)}{n^s}} \hspace{1cm} (Re(s)>1) \] 
を Dirichlet L-関数という

\begin{eqnarray}
  L(s,\chi ) 
     & = & \sum_{r=1}^{q}\sum_{m=0}^{\infty}
           \frac{\chi (r+qm)}{(r+qm)^s} \nonumber \\
     & = & q^{-s}\sum_{r=1}^{q}\chi (r)\sum_{m=0}^{\infty}
           \frac{1}{({\frac{r}{q}}+m)^s} \nonumber \\
     & = & q^{-s}\sum_{r=1}^{q-1}\chi (r)
           \zeta \left( s,\frac{r}{q}\right)
	   \label{eq:DIRICHLETL} 
\end{eqnarray}

\begin{Cor}
$L(s,\chi )$ は全平面に有理型に解析接続され、
$s=1$ での１位の極を除いて正則 \\
\end{Cor}

$ 0 $ or 負の整数点での値が計算できる．

\begin{Problem}
  $\chi$ が principal ではないとき$ s=1 $ での留数は $0$ である 
  
  $L(-n , \chi) \hspace{5mm} (n=0,1,2,\cdots)$ の値を書き下せ 
\end{Problem}
 
\begin{Th}[$ Re(s) < 0 $ での級数表示] \label{Th:SERIESREP}

$Re(s)< 0$ のとき
\[ \zeta(s,\alpha) = 
\frac{2\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\cdot 
   \left\{
     \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right)
       \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi\alpha n)}{n^{1-s}}
   + \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right) 
       \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi\alpha n)}{n^{1-s}}  
   \right\} \\
\]

\end{Th}
\newcommand{\RESIDUE}{\mathop{\rm Res}}

{\it proof}
 
\begin{eqnarray*}   
  \zeta(s,\alpha) 
     & = & \frac{1}{\Gamma (s)(e^{2\pi is}-1)}
           \int_{C(\varepsilon)}^{} \INTEGRAL \\
     & = & \frac{2{\pi}i}{\Gamma (s)(e^{2\pi is}-1)}
           \sum_{n=-\infty , n \ne 0}^{\infty} {\RESIDUE_{x=2n{\pi}i}}
           \, \, x^{s-1}\frac{e^{-\alpha x}}{1-e^{-x}} \\
     & = & \frac{2{\pi}i}{\Gamma (s)(e^{2\pi is}-1)}
           \sum_{n=-\infty}^{\infty}(2n{\pi})^{s-1}e^{-2n{\pi}{\alpha}} \\
\end{eqnarray*}
\QED

\hspace{5mm}

\begin{Problem}
\begin{itemize}
\item{$ \displaystyle i^{s}=e^{\frac{{\pi}is}{2}} 
      , \ {(-i)}^{s}=e^{\frac{{3\pi}is}{2}} $}
\item{$ \displaystyle \Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin{\pi}s} $}
\end{itemize}

を用いて {\bf Theorem \ref{Th:SERIESREP}} を示せ．
\end{Problem}
 
\begin{Cor}[Riemann Zeta の関数等式]
$ \displaystyle \Lambda (s) = {\pi}^{-\frac{s}{2}} 
\Gamma(\frac{s}{2}) \zeta (s). $とおいたとき、
\[ \Lambda(1-s) = \Lambda(s). \]
が成立．
\end{Cor}

{\it proof}

\[ \zeta (s) = \zeta (s,1) =
     \frac{2\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\cdot 
     \left\{
        \sin \left( \frac{{\pi}s}{2} \right) 
        \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1-s}}
        \right\} \hspace{1cm}  (Re(s)<0)
\]
ここで、
\[ \frac{{\sin}\frac{{\pi}s}{2}}{\pi} =
     \frac{1}{\Gamma(\frac{s}{2})\Gamma(1-\frac{s}{2})}
\]
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2} - \frac{s}{2}\right)
   \Gamma\left(\frac{1}{2} - \frac{s}{2} + \frac{1}{2}\right) = 
   \Gamma(1-s)\cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{2^{2\cdot \frac{1-s}{2}}} 
   = 2^{s}{\cdot}\sqrt{\pi}\Gamma(1-s) \cdots ( \ast )
\]

故に
\[ {\sin}(\frac{{\pi}s}{2}) = 
   \frac{\pi}{\Gamma(\frac{s}{2})\Gamma(1-\frac{s}{2})}
   = \frac{\pi}{\Gamma(\frac{s}{2})}\cdot 
   \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2} - \frac{s}{2}\right)}
   {{2^s}\sqrt{\pi}\Gamma(1-s)}
\]

より，
\[ \zeta (1-s) \times 
   \frac{{\pi}^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma (\frac{1-s}{2})}
        {{\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma (\frac{s}{2})}
   = \zeta (s)
\]

となる．
ここで、$ (\ast) $においてLegendre の関係式

\[
\Gamma (s)\Gamma \left(s+\frac{1}{2}\right) 
= 2^{1-2s}\sqrt{\pi}\Gamma (2s) 
\]

を用いた．
\QED

\begin{flushleft} {注意}\end{flushleft}
$q \in {\bf N} \,\,$

\[
{\mbox{\boldmath $\zeta$}}_{q}(s) = 
      \pmatrix{
         \zeta (s , \frac{1}{q}) \cr
         \vdots \cr
         \zeta (s , \frac{q}{q})
         }
\]      
とおくと，
\[
{\mbox{\boldmath $\zeta$}}_q(s) = 
   {\bf M}(s) \times {\mbox{\boldmath $\zeta$}}_q(1-s) 
\]
と書ける．

%(二日目)
  


\begin{flushleft}以下、このsectionでは、\end{flushleft}
$ p $:素数 \\
$\chi$:mod\hspace*{1mm}$p$のnon-principal charactor \\
と仮定する。一般のmoduloの場合も$chi$が"primitive"なら同様である\\

\begin{Def}[Gauss和]
 $ (a,b)=1 $とする。
 \[
 G(\chi,a)=
  {\sum_{k \bmod p}}' \chi(k)
  \exp{\left(\frac{2 \pi iak}{p}\right)}
 \]
を、{\bf Gauss和}という。但し、$ {\sum}' $は $ {\left(Z/pZ\right)}^{\times} $
の可逆元にわたる和とする。
\end{Def}

$ ak=k' $とかくと、
\begin{eqnarray*}
 G(\chi,a) & = & {\sum_{k'\bmod p}}' \chi(a^{-1}k')
                  \exp{\left(\frac{2 \pi ik'}{p}\right)} \\
           & = & \chi(a)^{-1} \sum \chi(k')\exp{\left(\frac{2 \pi ik'}{p}\right)} \\
           & = & \overline{\chi(a)} G(\chi,1)
\end{eqnarray*}
以下、$ G(\chi,1) $ を $ G(\chi) $ と書く。

\begin{Rem}
 \[
  \left|G(\chi)\right|^{2} = p \qquad (\left|G(\chi)\right| = p^{\frac{1}{2}})
 \]
\end{Rem}

{\it proof}

\begin{eqnarray*}
     G(\chi)\overline{G(\chi)}
	         &=& {\sum_{a}}'{\sum_{a'}}'\chi(a)\overline{\chi(a')}
	              \exp{\left(\frac{2\pi i(a-a')}{p}\right)}
				  \quad (a'=ab とする) \\
             &=& {\sum_{a}}'{\sum_{b}}'\chi(a)\overline{\chi(a)}\overline{\chi(b)}
                  \exp{\left(\frac{2\pi ia(1-b)}{p}\right)} \\
             &=& \sum_{b}\overline{\chi(b)} \sum_{a}
                  \exp{\left(\frac{2\pi ia(1-b)}{p}\right)} \\
\end{eqnarray*}
ここで
\begin{eqnarray*}
 {\sum_{a}}' &=&  
  \left\{
   \begin{array}[tb]{rl}
	p-1 & (b=1)\\
	-1  & (b\neq 1)
   \end{array} 
  \right.
\end{eqnarray*}
したがって、
\begin{eqnarray*}
 (上式) &=& (p - 1) - {\sum_{b\neq 0,1}}'\overline{\chi(b)}(-1) \\
        &=& p - 1 - \left\{ {\sum_{b \in {\bf Z}/p{\bf Z}}}'
		     \overline{\chi(b)} - 1 \right\} \\
        &=& p 
\end{eqnarray*}
\QED

\begin{Rem}
 \begin{eqnarray*}
  G(\chi(a)) &=& \sum_{a=1}^{p-1}\cos \frac{2\pi a}{p}
	                + i\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\sin \frac{2\pi a}{p}\\
         	 &=& C(\chi) + iS(\chi) \quad とおくと
 \end{eqnarray*} 
 \begin{eqnarray*}
  \chi(-1) = 1 のとき & & S(\chi) = 0 \\
  \chi(-1) = -1 のとき & & C(\chi) = 0
 \end{eqnarray*}
\end{Rem}

{\it proof}

\[
 \sum_{a=1}^{p-1} を \frac{p}{2} で半分に分けて考えると分かる。
\]
\QED	   

よって
\begin{eqnarray*}
 \chi(-1) = 1 \quad (\chi : even) & \Longrightarrow & G(\chi) = C(\chi) \\
 \chi(-1) = -1 \quad (\chi : odd) & \Longrightarrow & G(\chi) = iS(\chi)
\end{eqnarray*}

p.{\pageref{Th:SERIESREP}} Theorem \ref{Th:SERIESREP} において
\begin{Cor}[Dirichlet L関数の関数等式]
\begin{eqnarray*}
  \xi(s,\chi) &=& \cases{
                  {\left(\frac{\pi}{p}\right)}^{-\frac{s}{2}}
                  \Gamma(\frac{s}{2})L(s,\chi) &  $ \chi $ : even \cr 
                  {\left(\frac{\pi}{p}\right)}^{-\frac{s}{2}}
                  \Gamma(\frac{s+1}{2})L(s,\chi) & $ \chi $ : odd
                  } \\
  \Longrightarrow & & \xi(1-s,\chi) = W(\chi)\xi(s,\overline{\chi})
\end{eqnarray*}
ただし、$W(x):\chi$のみによる絶対値1の複素数
\end{Cor}

{\it proof}

Theorem \ref{Th:SERIESREP} で  
$ \displaystyle
 \alpha = \frac{a}{p} \quad (a=1,\cdots ,p-1) とおく
$
\begin{eqnarray*}
 \zeta(s,\frac{a}{p})
  &=& \frac{2\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}
       \left\{
        \sin(\frac{\pi s}{2})
        \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi \frac{a}{p})}{n^{1-s}}
		 + \cos(\frac{\pi s}{2})
		\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi \frac{a}{p})}{n^{1-s}}
	   \right\}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi\frac{a}{p})}{n^{1-s}}
    &=& \sum_{b=1}^{p}\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right)
	    \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(b + pm)^{1-s}}\\
    &=& p^{s-1}\sum_{b=1}^{p}\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right) \zeta(1-s,\frac{b}{p})
\end{eqnarray*}
そこで、
\begin{eqnarray*}
L(s,\chi) &=& p^{-s}\sum_(a)\chi(a)\zeta(s,\frac{b}{p})\\
          &=& p^{-s}\sum_{a}\chi(a)\frac{2\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}
           \left\{
			\sin(\frac{\pi s}{2})
			\sum_{b=1}^{p}\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right) \zeta(1-s,\frac{b}{p}) 
            \right. \\
          & & \left.  + \cos(\frac{\pi s}{2})
			\sum_{b=1}^{p}\sin\left(\frac{2\pi abi}{p}\right) \zeta(1-s,\frac{b}{p})
		   \right\} \\
          &=& p^{-1}\frac{2\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}
           \left\{
			\sin(\frac{\pi s}{2})\sum_{a}\chi(a)
			\sum_{b=1}^{p}\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right) \zeta(1-s,\frac{b}{p}) 
            \right. \\
          & & \left.  + \cos(\frac{\pi s}{2})\sum_{a}\chi(a)
			\sum_{b=1}^{p}\sin\left(\frac{2\pi abi}{p}\right) \zeta(1-s,\frac{b}{p})
		   \right\}
\end{eqnarray*}
\[
  \sum_{n=1}^{p-1}\chi(a)\sum_{b=1}^{p}\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right)
 \zeta(1-s,\frac{b}{p})
  = \sum_{b=1}^{p}\zeta(1-s,\frac{b}{p}) 
    \sum_{b=1}^{p-1}\chi(a)\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right)
\]
\[
 \sum_{b=1}^{p-1}\chi(a)\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right)
  = \left\{
      \begin{array}[tb]{ll}
	   0 & (b = 0) \\
	   \overline{\chi(a)}c(\chi) & (b \neq 0)
	  \end{array}
	\right.   
\]
より
\begin{eqnarray*}
 \sum_{n=1}^{p-1}\chi(a)\sum_{b=1}^{p}\cos\left(\frac{2\pi abi}{p}\right)
 \zeta(1-s,\frac{b}{p})
  &=& C(\chi)\sum\overline{\chi(b)}\zeta(1-b,\frac{b}{p})\\
  &=& C(\chi)p^{1-s}L(1-s,\overline{\chi})
\end{eqnarray*}
を用いると
\begin{eqnarray*}
 L(x,\chi) 
  &=& \frac{2p^{-s}\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}
                         \left\{
                           \sin(\frac{\pi s}{2})C(\chi)L(1-s,\overline{\chi})
						    + \cos(\frac{\pi s}{2})S(\chi)L(1-s,\overline{\chi})
						 \right\}
\end{eqnarray*}
\[
 = \left\{
    \begin{array}[tb]{ll}
     \frac{2p^{-s}}{(2\pi)^{1-s}}\Gamma(1-s)\sin\frac{\pi s}{2}C(\chi)L(1-s,\overline{\chi})
	  & \chi : even\\
	 \frac{2p^{-s}}{(2\pi)^{1-s}}\Gamma(1-s)\cos\frac{\pi s}{2}S(\chi)L(1-s,\overline{\chi})
	  & \chi : odd
	\end{array}
   \right.  
\]

 $\Gamma$の反転、２倍公式から、Corを得る\\
とくに
\[
 W(\chi) = \left\{
		   \begin{array}[tb]{ll}
			\frac{1}{\sqrt{p}}C(\chi) & \chi : even\\
			\frac{1}{\sqrt{p}}S(\chi) & \chi : odd
		   \end{array}
		  \right.
\]
\QED

\begin{Th}[Lerch] \label{Th:LERCH}
 \[
 \zeta '(0,\alpha) = \log\Gamma(\alpha) + \zeta '(0) 
 \quad (\zeta ' = -\frac{1}{2}\log 2\pi) 
 \] 
\end{Th}

\begin{Lem}[Euler定数] \label{Lem:EULER}
 \begin{eqnarray*}
 & \bullet & \quad \lim_{N \to \infty}
  \left(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{N} - \log N\right)
  = \gamma \quad は存在する ({\bf Euler}定数) \\
 & \bullet & \quad \lim_{s \to 1}\left(\gamma(s) - \frac{1}{s-1}\right)
   = \gamma
 \end{eqnarray*} 
\end{Lem}

\begin{flushleft}
{\it proof of} {\bf Lemma \ref{Lem:EULER}}
\end{flushleft}
\begin{eqnarray*}
 \int_{0}^{\infty}e^{-xt}dt
  & = & \left[ -\frac{1}{x}e^{-xt}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{x}\\
 \log\frac{B}{A}
  & = & \int_{A}^{B}\frac{1}{x}dx
   = \int_{0}^{\infty}\int_{A}^{B}e^{-xt}dxdt
   = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}(e^{-At} - e^{Bt})dt 
\end{eqnarray*}
そこで
\begin{eqnarray*}
 \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}
  & = & \int_{0}^{\infty}\sum_{n=1}^{N}e^{nt}dt
   = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x} - e^{-(N+1)x}}{1 - e^{-x}}dx
   = \lim_{s \to 0}
	   \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}(e^{-x} - e^{-(N+1)x})}{1 - e^{-x}}dx 
\end{eqnarray*}
一方
\[
 \log N
   =  \int_{0}^{\infty}\frac{1}{y}(e^{-y} - e^{Ny})dy 
\] 
よって
\begin{eqnarray*}
 \lim_{N \to \infty}(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} - \log N)
  &=& \lim_{N \to \infty}(\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n} - \log N) \\
  &=& \lim_{N \to \infty}\int_{0}^{\infty}(e^{-x} - e^{-Nx})
       \left(\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x}\right)dx \\
  &=& \int_{0}^{\infty}e^{-x}
       \left(\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x}\right)dx	
\end{eqnarray*}

となり、これを $\gamma$ と書く。つまり
\[
 \gamma = \int_{0}^{\infty}e^{-x}
           \left(\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x}\right)dx	
\]
次に、
\begin{eqnarray*}
 I(s) &=& \int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}
           \left(\frac{1}{1 - e^{-x}} - \frac{1}{x}\right)dx \\
      &=& \int_{0}^{\infty}x^{s-1}\frac{1}{e^{x} - 1}dx
           - \int_{0}^{\infty}x^{s-2}e^{-x}dx \\
      &=& \Gamma(s)\zeta(s) - \Gamma(s-1) \\
      &=& \Gamma(s)(\zeta(s) - \frac{1}{s-1})
\end{eqnarray*}
$s \to 1$ のとき $I(s) \to \gamma$ なので 
\[
 \lim_{s \to 1}(\zeta(s) - \frac{1}{s-1}) = \lim_{s \to 1}\frac{I(s)}{\Gamma(s)}
  = \gamma
\]
\QED

\begin{flushleft}
{\it proof of} {\bf Theorem \ref{Th:LERCH}}
\end{flushleft}
\[
 \frac{1}{\Gamma(z)} =
    ze^{yz}\Pi_{n=1}^{\infty}(1 + \frac{z}{n})e^{\frac{z}{n}}
 \quad を用いる
\]
両辺の対数をとると $(\alpha > 0)$
\[
 -\log\Gamma(\alpha) = \log\alpha + \gamma\alpha
 + \sum_{n=1}^{\infty}\left\{\log(1 + \frac{\alpha}{n})
 - \frac{\alpha}{n}\right\}
\]

\begin{eqnarray*}
 \log(1 + \frac{\alpha}{n}) 
  &=& \log(n + \alpha) - \log n \\
  &=& \int_{0}^{\infty}\frac{1}{y}(e^{-ny} - e^{-(n+\alpha)y})dy
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 I(s) &=& \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}y^{s}
           \left\{
             \frac{1}{y}(e^{-ny} - e^{-(n+\alpha)y}) - \alpha e^{-ny}
           \right\}dy \\
      &=& \Gamma(s)\zeta(s) - \Gamma(s)\zeta(s,\alpha +1)
	      - \alpha\Gamma(s+1)\zeta(s+1) \\
      & & \qquad {\rm for \quad Re}s > 1 
\end{eqnarray*}

$s \to 0$のとき展開
\[
 \left\{
  \begin{array}[tb]{lll}
   \Gamma(s) &=& \frac{1}{s} - \gamma + \cdots \\
   \Gamma(s+1) &=& 1 - \gamma s + \cdots \\
   \zeta(s) &=& \zeta(0) + \zeta ' (0)s + \cdots \\
   \zeta(s,\alpha +1) &=& \zeta(0,\alpha +1) + \zeta '(0,\alpha +1)s + \cdots 
  \end{array}
 \right. 
\]

\[
 \left\{
   \begin{array}[tb]{lll}
   \zeta(0) &=& -\frac{1}{2} \\
   \zeta(0,\alpha) &=& \frac{1}{2} - \alpha \\
   \zeta(0,\alpha +1) &=& \frac{1}{2} - \alpha
 \end{array}
 \right. \quad 等用いると	 
\]
\[
 J(s) \to \zeta '(0,\alpha) = \log\Gamma(\alpha) + \zeta '(0)
\]
\QED

\[
 注) \quad \zeta '(0) \left( =-\frac{1}{2}\log(2t)\right) は、関数等式、
 および \quad
 \frac{\Gamma '(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})} = -\log 4 - \gamma \quad
 からでる 
\]

\begin{Cor}[$L(0.\chi)\, ,\, L'(0,\chi)$ の値]
 $\chi$ : {\rm mod} $p$ , {\rm non principal }
\end{Cor}
\begin{eqnarray*}
 L(s,\chi) &=& p^{-s}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\zeta(s,\frac{a}{p}) \\
 L(0,\chi) &=& \sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)(\frac{1}{2} - \frac{a}{p})
                 = -\frac{1}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)a \\
 L'(0,\chi) &=& \sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\zeta '(0,\frac{a}{p})
                  - \log p\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\zeta(0,\frac{a}{p}) \\
           &=& \sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\log\Gamma(\frac{a}{p})
			    - \frac{\log p}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)a
\end{eqnarray*}
$\chi$ : even のとき、$\chi(-a) = +\chi(a)$ \\
したがって、
\begin{eqnarray*}
 \sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)a 
  &=& \sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(a)a
     + \sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(p-a)(p-a) \\
  &=& \sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(a)a + p\sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(a)
       - \sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(a)a \\
  &=& p \cdot \frac{1}{2}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a) = 0 
\end{eqnarray*}
よって、$\chi : {\rm even}$なら、

\begin{eqnarray}
 L'(0,\chi) &=& \sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\log\Gamma\left(\frac{a}{p}\right)
                \label{eq:L'1}\\
            &=& \sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(a)
	               \left\{
		            \log\left(
				\Gamma\left(\frac{a}{p}\right)
				\Gamma\left(1-\frac{a}{p}\right)
				\right)
                \right\} \nonumber \\
    &=& - \sum_{a=1}^{\frac{p-1}{2}}\chi(a)
           \log\left(\sin\frac{\pi a}{p}\right)
\label{eq:L'2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
 \log\left(\Gamma\left(\frac{a}{p}\right)
	   \Gamma\left(1-\frac{a}{p}\right)
     \right)
 = \log\frac{\pi}{\sin\frac{\pi a}{p}}
 = \log\pi - \log\left(\sin\frac{\pi a}{p}\right) \label{eq:log1}
\end{eqnarray}

関数等式から
\[
 L(1,\chi) =
   \left\{
    \begin{array}[tb]{ll}
	 L(0,\chi) & \chi : {\rm odd} \\
	 L'(0,\chi) & \chi : {\rm even}
	\end{array}
   \right.	
\]
$L(1,\chi)$は、類数計算、Abel拡大の構成に重要。それが、上の表示によって、
$\chi$ や $\sin$ によってよくわかる\\

多重ガンマの''Lerchの公式''（後述)によって、代数体上のLについて、(\ref{eq:L'1})
の表示は得られる。(Shintani) しかし、多重ガンマには、(\ref{eq:log1})に担
当する公式がないので、$\sin$ を用いた (\ref{eq:L'2}) の形の表示を出す事
はできない。\footnote{${\rm H\ddot{o}lder}$、黒川の多重$\sin$}

\section{Barnesの多重 Zeta 関数} 

\begin{Def}[Barnesの多重ゼータ関数]
$a,\omega_{1} ,\cdots ,\omega_{r} > 0 
 \quad \Omega = (\omega_{1}, \cdots ,\omega_{r})$ とする。
\begin{eqnarray}
 \zeta(s,a\mid \Omega)
  &=& \sum_{m_{1},\cdots ,m_{r} = 0}^{\infty}
       \frac{1}{(a + m_{1}\omega_{1} + \cdots + m_{r}\omega_{r})^{s}} 
	    \label{eq:Barnesze-zeta} \\
  &=& \sum_{m_{1},\cdots ,m_{r} = 0}^{\infty}
       \frac{1}{(a + \left\langle m,\Omega\right\rangle)^{s}} \nonumber
\end{eqnarray}
Re $s > \gamma$ のとき、絶対、広義一様収束する。
この $\zeta(s,a\mid \Omega)$ を {\bf Barnes の多重ゼータ関数} という
\end{Def} 

\begin{Th} \label{Th:Tue2}
  {\rm (\ref{eq:Barnesze-zeta})}は、全s-平面に有理型に解析接続され、
 $s = r,r-1, \cdots ,1$ における$1$位の {\rm possible pole} を除いて、正則。
 {\rm ($s = r$ は、真の pole で留数は、
 $((\omega_{1} \cdots \omega_{r})^{-1})$)} \\
 $s = r - k (k = 0,1,2,\cdots)$ における留数は、
\[
 \frac{C_{r}^{(k)} (a \mid \Omega)}{k! \Gamma(r-k)}
\]
また、$n \in {0}\cup N$に対し、
\[
 \zeta_{r}(-n, a\mid\Omega)
  = (-1)^{n}\frac{C_{r}^{(n+r)} (a \mid \Omega)}{(n+1) \cdots (n+r)}
\]
となる.\\
但し、ここに、$C_{r}^{(m)} (a \mid \Omega)$ は、{\rm Bernoulli}多項式の一般化
で、
\begin{eqnarray*}
 g_{r}(z,a\mid\Omega)
 &=& \frac{z^{r} e^{-az}}{(1-e^{-\omega_{1}z}) \cdots (1-e^{-\omega_{r}z})}
\end{eqnarray*}
の、$z=0$ での展開によって、次のように定める$:$
\begin{eqnarray*}
 &=& \sum_{m=0}^{\infty}\frac{C_{r}^{(m)}(a\mid \Omega)}{m!}z^{m}
\end{eqnarray*}
\end{Th}
\begin{Rem}
 \begin{eqnarray*}
  C_{r}^{(0)}(a \mid \Omega) &=& \frac{1}{\omega_{1} \cdots \omega_{r}} \\
  C_{r}^{m}(a \mid \Omega) 
   & \in &\frac{1}{\omega_{1} \cdots \omega_{r}} Q[a,\omega_{1} \cdots \omega_{r}]
 \end{eqnarray*}
\end{Rem}

\begin{flushleft}
 {\it proof of } Theorem \ref{Th:Tue2}
\end{flushleft}
\begin{eqnarray}
 \Gamma(s)\zeta_{r}(s,a\mid \Omega)
  &=& \sum_{m_{1}, \cdots m_{r}=0}^{\infty}
       \int_{0}^{\infty}
	   {\left(
		\frac{x}{a+m_{1}\omega_{1}+ \cdots + m_{r}\omega{r}}
	   \right)}^{\infty}	
	   e^{-x} \frac{dx}{x} \nonumber \\
  &=& \int_{0}^{\infty}x^{s-1}
       \underbrace{
	    \sum_{m_{1}, \cdots m_{r}=0}^{\infty}
        e^{-(a+m_{1}\omega_{1}+ \cdots + m_{r}\omega{r})x}
		}_{\diamondsuit}dx \label{eq:GZ}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray*}
 \diamondsuit
  &=& e^{-ax}\left(\sum_{m_{1}}e^{-m_{1}\omega_{1}x}\right)
			\cdots
			\left(\sum_{m_{r}}e^{-m_{r}\omega_{r}x}\right) \\
  &=& x^{-r}g_{r}(x,a\mid\Omega)
\end{eqnarray*}
よって
\begin{eqnarray*}
 ( \ref{eq:GZ} ) &=& \int_{0}^{\infty}x^{s-1}\cdot x^{-r}g_{r}(x,a\mid\Omega) dx \\
        &=& \int_{0}^{1}x^{s-1}\cdot x^{-r}g_{r}(x,a\mid\Omega) dx 
		     + \int_{1}^{\infty}x^{s-1}\cdot x^{-r}g_{r}(x,a\mid\Omega) dx \\
        &=& I_{1}(s) + I_{\infty}(s) \quad とおく
\end{eqnarray*}
ここで
\begin{eqnarray*}
 g_{r}(x,a\mid\Omega)
  &=& \sum_{m=0}^{N}\frac{C_{r}^{(m)}(a\mid \Omega)}{m!} x^{m}
       + R_{N+1}(x) \\
 R_{N+1}(x) &=& O(x^{N+1}) \quad ({\rm as} \quad x \to 0)
\end{eqnarray*}
により
\[
 \zeta_{r}(s, a\mid \Omega)
  = \frac{1}{\Gamma(s)}(I_{1}(s) + \underbrace{I_{\infty}(s)}_{整関数})
\]
\begin{eqnarray*}
 I_{1}(s)
  &=& \int_{0}^{1}x^{s-r-1}
       \left\{
		\sum_{m=0}^{N}\frac{C_{r}^{(m)}(a\mid \Omega)}{m!} x^{m} + R_{N+1}(x)
	   \right\} dx \\
  &=& \sum_{m=0}^{N}\frac{C_{r}^{(m)}(a\mid \Omega)}{m!} 
       \frac{1}{s+m-r}
	   + \int_{0}^{1}x^{s-r-1}R_{N+1}(x)dx \\
  &=& F_{N}(s) + G_{N}(s) \quad とおくと	   
\end{eqnarray*}
$G_{N}(s)$ は、Re $s > r-N-1$ で正則. N は、任意だから、これで、全平面
への接続ができた. \\

$ \displaystyle \frac{1}{s+m-r}$ は、$0\leq m< r$ のとき 
$ \displaystyle \frac{1}{\Gamma(s)}$
の zeros と cancel しないので、possible pole、$m\geq r$ では正則となる.
これを計算すると定理に述べた値となる.
\QED

\begin{Rem}[N${\rm \ddot{o}}$rlund の高次 Berunoulli 多項式]

 \begin{eqnarray*}
  \omega_{1} \cdots \omega_{r}Z^{r}
  \frac{e^{az}}{(e^{\omega_{1}z} -1) \cdots (e^{\omega_{r}z} -1)} \\
  &=& \sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_{m}^{(r)} (a\mid \Omega)}{m!} z^{m}
 \end{eqnarray*}
よって
\[
 C_{r}^{(m)}(a\mid \Omega)
  = \frac{1}{\omega_{1} \cdots \omega_{r}}
     B_{m}^{(r)}(a-\omega_{1}\cdots -\omega_{r}\mid \Omega)
\]

\newcommand{\summa}{\mathop{\sum_{k_{1} \cdots k_{r} \geq 0}}}
また、
\begin{eqnarray*}
 C_{r}^{(m)}(a_{1}\omega_{1}+ \cdots +a_{r}\omega_{r} \mid \Omega)
  &=& \frac{1}{\omega_{1} \cdots \omega_{r}}
        \summa_{k_{1}+ \cdots +k_{r} = m} \\
  & &  \left(
          \begin{array}[tb]{c}
		 m \\
		 k_{1} \cdots k_{r}
		\end{array}
       \right)	
	   B_{k_{1}}(a_{1}) \cdots B_{k_{r}}(a_{r})
	   \omega_{1}^{k_{1}} \cdots \omega_{r}^{k_{r}}
\end{eqnarray*}
\end{Rem}

\begin{Lem} \label{Lem:Tue2}
 $N_{1}, \cdots ,N_{r} \in N$
\begin{eqnarray*}
 \zeta_{r}(s,a\mid \Omega)
  &=& \sum_{m_{1}=0}^{N_{1}-1} \cdots \sum_{m_{r}=0}^{N_{r}-1}
       {(a+m_{1}\omega_{1}+ \cdots + M{r}\omega_{r})}^{-s} \\
  & & + \sum_{\nu =1}^{r}(-1)^{\nu -1}
         \sum_{1\leq j_{1}< \cdots < j_{\nu}\leq r}
		  \zeta_{r}
		  (s,a+N_{j_{1}}\omega_{j_{1}}+ \cdots +N_{j_{\nu}}\omega_{j_{\nu}} \mid \Omega)
\end{eqnarray*}
これは
\[
 \zeta(s,a)=a^{-s}+(a+1)^{-s}+ \cdots +(a+k+-1)^{-s}+\zeta(s,a+k)
\] 
の一般化になっている
\end{Lem}
\begin{Problem}
 {\rm Lemma \ref{Lem:Tue2}} を証明せよ。
\end{Problem}

\begin{Cor}[巾和の公式の一般化]
 $m \in N \cup \{0\}$
\begin{eqnarray*}
 & & \sum_{m_{1}=0}^{N_{1}-1} \cdots \sum_{m_{r}=0}^{N_{r}-1}
  {(a+m_{1}\omega_{1}+ \cdots + M{r}\omega_{r})}^{n} \\
  &=& \frac{(-1)^{n}}{(n+1) \cdots (n+r)} 
    \left\{ C_{n+r}^{(r)}(a\mid \Omega) \right. \\
  & & + \left. 
    	  \sum_{\nu}^{r}(-1)^{\nu} \sum_{1\leq j_{1}< \cdots < j_{\nu}\leq r}
        	  C_{n+r}^{(r)}
    	  (a+N_{j_{1}}\omega_{J_{1}}+ \cdots +N_{j_{\nu}}\omega_{j_{\nu}} \mid \Omega)
    	\right\} 
\end{eqnarray*}
\end{Cor}
これから、Lerch の公式の一般化を考え、それによって、逆に、「多重ガンマ関
数」を定義しよう。
\newcommand{\summb}{\mathop{\sum_{m_{1} \cdots m_{r} = 0}^{\infty}}}
\begin{eqnarray*}
 Z(s\mid \Omega)
  &:=& \summb_{(m_{1}, \cdots ,m_{r})\neq (0, \cdots ,0)}
        {\langle\underline{m},\Omega \rangle}^{-s} \\
 Z(s,a\mid \Omega)
  &:=& \summb_{\underline{m}\neq \underline{0}}
        {a+\langle \underline{m},\Omega \rangle}^{-s}
\end{eqnarray*}
Lemma \ref{Lem:Tue2} で $N_{1}= \cdots =N_{r}=1$とおくと、 
\[
 Z(s\mid \Omega)
  = \sum_{\nu =1}^{r}(-1)^{\nu =1}
     \sum_{1\leq j_{1}< \cdots < j_{\nu}\leq r}
	 \zeta_{r}(s,\omega_{j_{1}}+ \cdots +\omega_{j_{\nu}}\mid \Omega)
\]
よって、$z(s\mid \Omega)\, ,\,z(s,a\mid \Omega)$ は $\zeta_{r}$ と同様の 
analytic な性質をもつ。\\
(実際、$Z(s,a\mid \Omega) = \zeta_{r}(s,a\mid \Omega) -a^{-s}$ に他なら
ない。)
\begin{eqnarray*}
 \rho_{r}(\Omega) &:=& \exp(-z'(0\mid \Omega)) \\
 \lim_{a \to +0}Z(s,a\mid \Omega) &=& z(s\mid \Omega)
\end{eqnarray*}
したがって
\[
 \log\rho_{r}(\Omega) = -\lim_{a \to +0}({\zeta_{r}}'(0, a\mid \Omega)
  +  \log a)
\]
以上をまとめると、
\begin{Def}[多重ガンマ関数]
 $a > 0$ に対し、
\[
 \Gamma_{r}(a\mid \Omega) := \rho_{r}\cdot \exp({\zeta_{r}}'(0,a\mid \Omega))
\]
と定めた $\Gamma_{r}(a\mid \Omega)$ を、{\bf 多重ガンマ関数} という。
\end{Def}

\begin{Th}
 $ \displaystyle \frac{1}{\Gamma_{r}(z\mid \Omega)}$ は、$z$に関し、
 {\rm order} $r$ の整関数に解析接続され、
 次の {\rm Weierstrass} 型の積表示をもつ。

\begin{eqnarray*}
 \frac{1}{\Gamma_{r}(z\mid \Omega)}
  &=& z\exp\left( \sum_{q=1}^{r} \frac{\gamma_{r,q}}{q!} \right) \\
  & & \times {\prod}'
       \left\{
	\left(1+ \frac{z}{m_{1}\omega_{1}+ \cdots +m_{r}\omega_{r}} \right)
	\exp\left( \sum_{k=1}^{r}(-1)^{k}
	\frac{z^{k}}{k(m_{1}\omega_{1}+ \cdots +m_{r}\omega_{r})^{k}} \right)
       \right\}
 \end{eqnarray*}

\newcommand{\prodda}{\mathop{\prod_{m_{1} \cdots m_{r} \geq 0}}}

 ここに、$\gamma_{r,q}:$ 定数 {\rm (一般の Euler 定数)}

\[ 
 {\prod}' = \prodda_{\underline{m} \neq
 \underline{0}\, ,\, m_{1} \cdots m_{r} \in {\bf Z}}
\]
\end{Th}

{\it proof\/}

\[
 F(z) := {\sum_{\underline{m}}}'
          \left\{ 
		   \log \left( 1+\frac{z}{\langle \underline{m},\Omega \rangle} \right)
		    + \sum_{k=1}^{r}(-1)^{k} 
			   \frac{z^{k}}{k\cdot {\langle \underline{m},\Omega \rangle}^{k}}
		  \right\}
\]
各 $z \in C$ の近傍で、有限個を除いた残りは、広義一様かつ絶対収束してい
るので、order $r$ の整関数となる。
\begin{eqnarray*}
 \log\frac{B}{A} &=& \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} (e^{-At}-e^{-Bt})dt \\
 \frac{1}{A^{k}} &=& \frac{1}{(k-1)!} \int_{0}^{\infty} t^{k-1}e^{-At}dt
\end{eqnarray*}
を用いて、$\alpha > 0$ に対し
\begin{eqnarray*}
 F(a) &=& {\sum_{\underline{m}}}'
           \left\{
			\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}
			 \left\{ e^{-\langle \underline{m},\Omega\rangle t} 
			         - e^{-(\langle \underline{m},\Omega\rangle +a)t }
			\right\}		 
		   \right. \\
     & & \left. + \sum_{k=1}^{r}(-1)^{k} \frac{a^{k}}{k!} 
	             \int_{0}^{\infty}
				  t^{k-1}e^{-\langle \underline{m},\Omega\rangle t}
				 dt
		 \right\}		
\end{eqnarray*}
\[
 F(a,s) := {\sum_{\underline{m}}}'
             \int_{0}^{\infty} t^{s-1}e^{-\langle \underline{m},\Omega\rangle t}
              \left(
			   1-e^{-at}+\sum_{k=1}^{r}(-1)^{-k} \frac{(at)^{k}}{k!}
			  \right) dt 
\]
これは、Re $s$ $> -1$ で正則で、$F(a,0) = F(a)$
\begin{eqnarray*}
 F(a,s) &=& \Gamma(s){Z(s\mid \Omega) - Z(s,a\mid \Omega)} 
            + \sum_{k=1}^{r}\frac{a^{k}}{k!}\Gamma(s+k)Z(s+k\mid \Omega) \\
 Z(s+k\mid \Omega) &=& \frac{b_{k}}{s} + c_{k} + \cdots \qquad 
                         (k=1, \cdots ,r) \quad で \; b_{k},c_{k} \; を定める \\
 \gamma_{r,k} &:=& (-1)^{k-1}(k-1)! 
                    \left\{ c_{k} + b_{k} \sum_{\nu =1}^{k-1} \frac{1}{\nu}
					\right\}
\end{eqnarray*}
とおくと 
\[
 \Gamma(s+k) = (k-1)!
                 \left\{ 1+s\left(\sum_{\nu =1}^{k-1}\frac{1}{\nu} -\gamma\right)
				 \right\}
\]
を用いれば、
\begin{eqnarray*}
F(a,0) &=& z'(0\mid \Omega) - z'(0,a\mid \Omega)
            + \sum_{k=1}^{r}\frac{(-1)^{k}}{k}a^{k}
			   \left\{ c_{k}+b_{k}\sum_{\nu =1}^{k-1}\frac{1}{\nu} \right\} \\
       &=& -\log\rho_{r}(\Omega) - {\zeta_{r}}'(0,a\mid \Omega) - \log a
	   - \sum_{q=1}^{r}\frac{\gamma_{r,q}}{q!}a^{q} \\
       &=& -\log\Gamma_{r}(a\mid \Omega)-\log a
             -\sum_{q=1}^{r}\frac{\gamma_{r,q}}{q!}a^{q}
\end{eqnarray*}
\QED

\begin{Rem}[Functional determinant]
 $T$: $n$次正値対称行列 とし 固有値を
 $\lambda_{1}, \cdots ,\lambda_{n} > 0$ とする.
\begin{eqnarray*}
 \zeta_{T}(s) &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{{\lambda_{k}}^{s}} \\
 \det T &=& \lambda_{1} \cdots \lambda_{n} \\
 \log \det T &=& \log \lambda_{1} + \cdots + \log \lambda_(n) = -{\zeta_{T}}'(0) \\
\end{eqnarray*}
\end{Rem}
よって、一般に、``良い''性質をもつ(関数空間の)作用素 $T$ の離散スペクト
ル $\{\lambda_{n}\}_{n=1,2,\cdots} (\lambda_{n} > 0)$ に対し、
\[
 \zeta_{T}(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{\lambda_{n}}^{-s} \qquad :スペクトル
 ゼータ 
\]
とおき、$T$ の''determinant''を $\det T = e^{-{\zeta_{T}}'(0)}$ と定める
ことは、自然である。
\begin{Example}
 $T$ として、{\rm compact Riemann} 多様体上の {\rm Laplacian} をとると、良い性質をも
 つ。
\end{Example}
より一般に、$\Lambda =\{\lambda_{n}\}_{n=1,2,\cdots}$ : 数列
\begin{eqnarray*}
 \zeta_{\Lambda}(s) &=& \sum_{n=1}^{\infty} {\lambda_{n}}^{-s} \\
 \zeta_{\Lambda}(s,a) &=& \sum_{n=1}^{\infty}(a+\lambda_{n})^{-s} \\
 \Gamma_{\Lambda}(z) &=& \prod\left(1+\frac{z}{\lambda_{n}}\right)e^{\flat}
                          \qquad (\flat : 収束するようにとる)
\end{eqnarray*}
に対して、同様の議論ができる。\footnote{Voros. Commun. Math. Phys. (1987)}

\begin{Def}[多重ポリ$\Gamma$-関数]
 ポリ $\Gamma$-関数は、
\[
 \psi(z) = \frac{d}{dz}\log\Gamma(z) = \frac{{\Gamma}'(z)}{\Gamma(z)}
\]
と定義される。このアナロジーとして、
\[
 \psi_{r}^{(s)}(z\mid \Omega) := {\left(\frac{d}{dx}\right)}^{s}
                                   \log \Gamma_{r}(z\mid \Omega)
\]
と定義される関数を、{\bf 多重ポリ$\Gamma$-関数} という。
\end{Def}

\begin{Cor}
 \[
  \gamma_{r,q} = - \lim_{a \to +0}
                 \left(
                   (-1)^{q-1}\frac{(q-1)!}{a^{k}} + \psi_{r}^{(q)}(a\mid \Omega)
                 \right)
 \]
\end{Cor}

{\it proof\/}

$F(a)$ の式の両辺を $q$ 回微分 ($F(a)$ : $a$ において$r+1$ 位の zero を
もつ)
\QED

\begin{Th}[差分公式]\label{Th:DIFFORMULA}
\begin{equation}
  \zeta_{r} (s , a + \omega_{i} \mid \Omega)
	- \zeta_{r} (s , a \mid \Omega)
	= -\zeta_{r-1} (s , a \mid \Omega(i))
  \label{eq:DIFFERENCE}	
\end{equation}
ただし,
 $\Omega(i) = (\omega_{1} , \cdots , \omega_{i-1} ,
	      \omega_{i+1} , \cdots ,  \omega_{r})$
\begin{equation}
 \frac{\Gamma_{r} (a + \omega_{i} \mid \Omega)}{\Gamma_{r} (a \mid \Omega)}
  = \frac{\rho_{r-1} (\Omega(i))}{\Gamma_{r-1} (a \mid \Omega(i))}
\end{equation}

\begin{equation}
  \psi_{r}^{(s)} (a + \omega_{i} \mid \Omega) -
  \psi_{r}^{(s)} (a \mid \Omega) =  - \psi_{r-1}^{(s)} (a \mid \Omega(i))
\end{equation}

\begin{equation}
 C_{r}^{(m)} (a + \omega_{i} \mid \Omega) -
 C_{r}^{(m)} (a \mid \Omega) = -mC_{r-1}^{(m-1)} (a \mid \Omega)
\end{equation}
\end{Th}

{\it proof}

(\ref{eq:DIFFERENCE}) は収束領域では明らか.
残り三つは (\ref{eq:DIFFERENCE}) より導ける.

\begin{Th}[乗法公式]\label{Th:MULTIFORMULA}
\begin{equation}
 \zeta_{r} (s , qa \mid \Omega) =
  q^{-s}\sum_{l_{1}=0}^{q-1} \cdots q^{-s}\sum_{l_{r}=0}^{q-1}
  \zeta_{r} \left( s , a + \frac{1}{q}
    (l_{1}\omega_{1}+\cdots+l_{r}\omega_{r}) \Big| \Omega
	    \right)
\end{equation} 
{\rm (Distribution relation とも言う.)}
\end{Th}

\begin{Th}[変換公式]\label{Th:TRANSFORMULA}
$q_{1} , \cdots , q_{r} \in {\bf N}$
\begin{equation}
 \zeta_{r} \left(s ,a \Big|
	    \left(
	     \frac{\omega_{1}}{q_{1}} , \cdots , \frac{\omega_{r}}{q_{r}} 
	    \right)
	   \right)
 = \sum_{l_{1}=0}^{q_{1}-1}\cdots\sum_{l_{r}=0}^{q_{r}-1}
   \zeta_{r} \left(
	      s , a+\frac{l_{1}}{q_{1}}+\cdots+\frac{l_{r}}{q_{r}}
              \Big| \Omega
	     \right)
\end{equation}
\end{Th}

\begin{Problem}
Theorem \ref{Th:DIFFORMULA} \,,\, \ref{Th:MULTIFORMULA} \,,\,
\ref{Th:TRANSFORMULA} を証明せよ.
\end{Problem}


%(三日目)
\begin{itemize}
\item{$ \log\Gamma $の Stirling 公式 }
\item{$ \log\Gamma_{r} $の Stirling 公式 }
\item{$ {\zeta}_{r}(s , a|\Omega ) $ の
$ Re(s)<0 $での級数展開}

\end{itemize}

\begin{Th}[Binetの第一公式]
$ \alpha > 0 .$

\[
\log\Gamma ( \alpha ) =
 \left( a-\frac{1}{2} \right)\log \alpha +
 \frac{1}{2}\log 2\pi + \int_{0}^{\infty}
 \frac{e^{-\alpha x}}{x}
 \left(\frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \right)dx
\]
\end{Th}

{\it proof}
\begin{eqnarray*}
 \Gamma (s)\zeta (s ,\alpha )
  & = & \int_{0}^{\infty}\INTEGRAL \hspace{1cm} (Re(s)>1) \\ 
  & = & \int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-\alpha x}
        \left(\frac{1}{1-e^{-x}}
	 - \frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)dx \\
  & & {}+ \int_{0}^{\infty} x^{s-2}e^{-\alpha x}dx 
        +\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-\alpha x}dx
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-x}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} 
  = O(x) \hspace{5mm} ( as \hspace{2mm} x \to 0 )$ \\

ここで $ \displaystyle \frac{1}{1-e^{-x}} = 
\frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{e^{x}-1}+1 $ なので、\\

上式
$ = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-\alpha x}
  \left(\frac{1}{e^{x}-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right)dx
  + {\alpha}^{1-s}\Gamma (s-1) +
  \frac{1}{2}{\alpha}^{-s}\Gamma (s)$

よって 

\[
\zeta (s,\alpha) = \frac{1}{\Gamma (s)}
\int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-\alpha x}
\left(\frac{1}{e^{x}-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right)dx
+ {\alpha}^{1-s}(s-1) + \frac{1}{2}{\alpha}^{-s}
\]

ここで，$s=0$ における展開の $s$ の係数を考える．

\hspace{5mm}

右辺
$\displaystyle =
\left(s + \cdots\right)\left\{
         \int_{0}^{\infty} x^{-1}e^{-\alpha x}
         \left(
	   \frac{1}{e^{x}-1} - \frac{1}{x} 
            + \frac{1}{2}\right
	 )dx + \cdots\
	 \right\}$
\[
{}+ \alpha (1-s\log\alpha + \cdots ) 
-(1 + s + s^2 + \cdots ) +\frac{1}{2}(1-s\log\alpha + \cdots )
\]

よって，左辺は Lerch の公式を用いて

\[
\log\frac{\Gamma( \alpha )}{\sqrt{2\pi}} = 
 \left(\alpha - \frac{1}{2}\right)
 \log \alpha - \alpha +
\underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-{\alpha}x}}{x}
\left( \frac{1}{e^{x}-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \right)dx}_{(\star)} 
\]

$(\star)$ において　${\alpha}x = y$　とおくと，

\[
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-y}}{y}
\left( \frac{1}{e^{\frac{y}{\alpha}}-1} 
- \frac{\alpha}{y} + \frac{1}{2} \right) dy \cdots (\ast)
\]

$\displaystyle h(x) = \frac{1}{e^{x}-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$
とおくと，$0$ の近傍で

\[ h(x) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^{n-1} \]

と展開される．
$(\ast)$ に代入して形式的に項別積分すると，

\[
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{B_n}{n!}\int_{0}^{\infty}
\frac{e^{-y}}{y}\left( \frac{y}{\alpha} \right)^{n-1} dy
\]

\begin{eqnarray*}
    & = & \sum_{n=2}^{\infty}\frac{B_n}{n!}\cdot 
        \frac{1}{{\alpha}^{n-1}}\int_{0}^{\infty}y^{n-2}{e^{-y}} \\
    & = & \sum_{m=1}^{\infty}\frac{B_{m+1}}{(m+1)!}\cdot
        \frac{1}{{\alpha}^{m}}\Gamma(m) \\         
    & = & \sum_{m=1}^{\infty}\frac{B_{m+1}}{m(m+1){\alpha}^{m}}
        \cdots (\star)  
\end{eqnarray*} 

これは，$\alpha \to \infty$ の時の $\log \Gamma(\alpha)$ の
”漸近展開”を与えている．（ただし形式的な議論）
\QED

ここで、今までの議論を正当化する.

\[
h(x) = \sum_{m=1}^{N}\frac{B_{m+1}}{(m+1)!}
       \left(\frac{y}{\alpha}\right)^{m}
       + \frac{1}{(N+1)!} \left(\frac{y}{\alpha}\right)^{N+1}
       h^{(N+1)}(t) \hspace{5mm}
\left(0 < t <\frac{y}{\alpha}\right)
\]

よって、
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\alpha x}}{x}h(x) dx
= \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-y}}{y}
    \left\{
      \sum_{m=1}^{N}\frac{B_{m+1}}{(m+1)!}
        \left(\frac{y}{\alpha}\right)^{m}
        + \frac{1}{(N+1)!}
	\left(\frac{y}{\alpha}\right)^{N+1}h^{(N+1)}(t)
    \right\} dy.
\]
\[
= \sum_{m=1}^{N}\frac{B_{m+1}}{m(m+1){\alpha}^{m}}
+ \frac{1}{(N+1)!{\alpha}^{N+1}}\cdot
\int_{0}^{\infty}y^{N}h^{(N+1)}(t)e^{-y} dy.
\]

\begin{Lem}\label{Lem:CAUCHY}
$\rho > 0. \hspace{3mm} S\subset D\subset {\bf C}
\ s.t. \ {}^{\forall}z \in S,$
$U_{\rho}(z) \subset D$

(但し　$U_{\rho}(z) = \{ w \in {\bf C} \mid |z-w| < \rho \}$ )

\hspace{5mm}

$h(z) : D で正則. \, |h(z)| \le C \hspace{5mm} {}^{\forall}z \in D$

$\Rightarrow {}^{\forall}N \in {\bf N}, \ {}^{\exists}C_{N},
\ s.t. \ |h^{(N)}(z)| \le C_{N} \hspace{5mm} for {}^{\forall}z \in S$
\end{Lem}

{\it proof}

\begin{eqnarray*}
  h^{(N)}(z) & = & \frac{N!}{2{\pi}i}\int_{|z-{\zeta}|=\rho}^{}
                   \frac{h({\zeta}}{({\zeta}-z)^{N+1}} d\zeta \\
             & \le & \frac{N!}{{\rho}^{N}}|h(z)| 
                     \le \frac{N!}{{\rho}^{N}}C. \, \, 
\end{eqnarray*}
\QED

\hspace{5mm}

今,
$S = \left[ 0 , \infty \right)$
$D = D_{\rho} = \{ z \mid |z| < \rho \} \cup
\{ z \mid Re(z) > 0 ,|Im(z)| < \rho \}$ ととる.

$\bullet \, h(z) は D_{\rho} で有界.(easy)$
よって, {\bf Lemma \ref{Lem:CAUCHY}} により

\[ \int_{0}^{\infty}y^{N}h^{(N+1)}(t)e^{-y} dy \]

は $\alpha$ に無関係に有界なので，$(\star)$ の展開は，
漸近展開の意味で成立しているが分かる．即ち

\[\log \Gamma ( \alpha ) = \left( \alpha - \frac{1}{2} \right)
  \log \alpha - \alpha + \frac{1}{2} \log 2\pi
  \sum_{m=1}^{\infty}\frac{B_{m+1}}{m(m+1){\alpha}^{m}} \]

これを $\log\Gamma ( \alpha )$ に関する Stirling の公式という．

\hspace{5mm}

\newcommand{\MULTIPLE}[3]{\frac{C_{#1}^{(#2)}( #3 )}{{#1}!}}

\[ g(x) = \frac{1}{(1 - e^{{-\omega}_{1}x})\cdots
          (1 - e^{{-\omega}_{r}x})} 
        = \frac{1}{x^{r}}\sum_{k=0}^{\infty}
          \MULTIPLE{k}{r}{\Omega}x^{k} \]
\[ h_{}(x | \Omega ) := g(x) - \frac{1}{x^{r}}\sum_{k=0}^{r}
                        \MULTIPLE{k}{r}{\Omega}x^{k} \]

\hspace{5mm}

\begin{Th}[multiple analogue of Binet]
\begin{eqnarray*}
 \log\Gamma_{r}(a | \Omega )
  & = & \sum_{k=0}^{r-1}
        \MULTIPLE{k}{r}{\Omega}a^{r-k}(A_{r-k}\log a + B_{r-k}) \\ 
  & & {}- \MULTIPLE{r}{r}{\Omega}\log a 
        + \log \rho_{r}( \Omega ) \\
  & & {}+ \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-ax}}{x}h_{r}(x | \Omega ) dx 
\end{eqnarray*}

但し，
\[ A_{\mu} = \frac{(-1)^{\mu + 1}}{\mu !} \, , \,
   B_{\mu} = \frac{(-1)^{\mu + 1}}{\mu !}
             \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{\mu} \right) \]
\end{Th}

{\it proof}

\[ \Gamma (s)\zeta_{r} (s , a | \Omega ) = \int_{0}^{\infty}
   x^{s-1}e^{-ax}h_{r}(x | \Omega ) dx + 
   \sum_{k=0}^{r}\MULTIPLE{k}{r}{\Omega} a^{r-k-s}\Gamma (s + k - r) \]

ここで $k$ を $r-k$ と置き換える．
\begin{eqnarray*}
  \zeta_{r} (s , a | \Omega ) 
      & = & \frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty}
            x^{s-1}e^{-ax}h_{r}(x | \Omega ) dx \\  
      & + & \sum_{k=1}^{r}\MULTIPLE{r - k}{r}{\Omega} a^{k-s}
            \frac{1}{(s-1)\cdots(s-k)}+ \MULTIPLE{r}{r}{\Omega}a^{-s}. 
\end{eqnarray*}

この両辺の　$s = 0$ での，$s$ の項を比較すればよい．
\QED

\hspace{5mm}
 
\begin{Rem}
$h_{r}(x | \Omega ) = O(x)$ なので，上の積分は
$Re(s) > -1$ で収束している．

$h_{r}(z | \Omega )$ は，$S = [0 , {\infty}) \, , \, D_{\rho}$ 
に関して {\rm Lemma} \ref{Lem:CAUCHY} の仮定をみたす．
\end{Rem}

\hspace{5mm}

\begin{Cor}[multiple Stirling]
(due to Barnes)

\begin{eqnarray*}
  \log\Gamma_{r}(a | \Omega ) & = & \sum_{k=0}^{r-1}
   \MULTIPLE{k}{r}{\Omega}a^{r-k}(A_{r-k}\log a + B_{r-k}) \\
   & - & \MULTIPLE{r}{r}{\Omega}\log a + \log \rho_{r}( \Omega ) \\
   & + & \sum_{m=1}^{M}\frac{C_{r+m}^{(r)}(\Omega)}{m(m+1)\cdots (m+r)}
         \cdot \frac{1}{a^{m}} + O(a^{-M-1}) 
\end{eqnarray*}

\end{Cor}

\begin{flushleft}
{\bf 拡張}
\end{flushleft}

$(\omega_{1} , \cdots , \omega_{r} )
 = (\xi_{1} , \cdots , \xi_{p} , \eta_{1} , \cdots , \eta_{q})$
と分ける．$( p + q = r , p \ge 1 )$

さらに，$(1 - e^{-\xi_{1}x})\cdots(1 - e^{-\xi_{p}x})$
についてだけ展開することを考えると，

\[
\Gamma (s)\zeta_{r} (s , a | \Omega ) = \int_{0}^{\infty}
x^{s-1}e^{-ax}g_{q}(x | \eta )g_{p}(x | \xi ) dx
\]

但し，
\[ g_{p}(x | \xi ) = 
   \frac{1}{1 - e^{-\xi_{1}x}}\cdots\frac{1}{1 - e^{-\xi_{p}x}} 
\]

\[ h_{p}^{r}(x | \xi ) = g_{p}(x | \xi ) - 
   \frac{1}{x^{p}}\sum_{k=0}^{r}\MULTIPLE{k}{p}{\xi}x^{k} \cdots ( \natural )\]

\begin{Th}
\begin{eqnarray*}
  \Gamma (s)\zeta_{r} (s , a | \Omega ) 
     & = & \int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-ax}
           g_{q}(x | \eta )g_{p}(x | \xi ) dx \\
     & & {}+ \sum_{k=0}^{r}\MULTIPLE{k}{p}{\xi}
           \Gamma (s+k-p)\zeta_{q} (s+k-p , a | \eta )
\end{eqnarray*}
右辺の積分は $ Re(s) > -1$ で収束．
\end{Th}

{\it proof}

上記の $( \natural )$ を代入して計算すればよい．

\[ \int_{0}^{\infty}x^{s+k-p-1}g_{q}(x | \eta ) dx = 
   \Gamma (s+k-p)\zeta_{q} (s+k-p , a | \eta ) \]
に注意．
\QED

\hspace{5mm}

\begin{Cor}[Binet の類似]

\[ \log\frac{\Gamma_{r} (a | \Omega )}
   {\rho_{r}( \Omega )} =  \int_{0}^{\infty}x^{-1}e^{-ax}
           g_{q}(x | \eta )h_{p}^{(r)}(x | \xi ) dx 
\]
\[ + \frac{d}{ds}\left[\sum_{k=0}^{r}\MULTIPLE{k}{p}{\xi}
   \frac{\Gamma (s+k-p)}{\Gamma (s)}
   \zeta_{q} (s+k-p , a | \eta )\right]_{s=0} 
\]
\end{Cor}

\begin{flushleft}
(研究課題)
\end{flushleft}

$\log\Gamma_{r} (a | \xi , \eta )$ の $\xi \downarrow 0$ のときの
漸近展開を求めよ．

cf. \, $r=2 , p=q=1$ のとき \,
K.Matumoto\footnote{Math.Proc.Cambridge.Phil.Soc.vol.123 (1998) Theorem 5}


\section{数論への応用}

\newcommand{\DEDEKINDSUM}[2]{\sum_{j \bmod k}
\left(\left(\frac{j{#1}}{k}\right)\right)
\left(\left( \frac{j{#2}}{k} \right)\right)}

\begin{Def}[Dedekind 和]

\[ ((x)) = \left\{
             \begin{array}{@{\,}ll}
               x - [x] - \frac{1}{2} & x \not\in {\bf Z} \\    
               0 & x \in {\bf Z}
             \end{array}
           \right.
\]
$h \in {\bf Z} \, , \, k \in {\bf N} \, , \, (h , k) = 1$

\[ s(h ,k) \stackrel{\rm def}{=} \DEDEKINDSUM{}{h} \]
を {\bf Dedekind 和} という．

\end{Def}

\begin{flushleft} {歴史} \end{flushleft}
Dedekind の $\eta$ - 関数\footnote{Riemann の論文中にもある.}

\[
\eta(z) = e^{{\pi}iz}\prod_{n=1}^{\infty}
\left(1 - e^{2{\pi}inz}\right) \hspace{5mm} z \in {\cal H}
\]

$\eta(z)$ と $\eta\left(-\frac{1}{z}\right)$ ,
$\eta(z)$ と $\eta(z + 1)$ との間には簡単な関係がある.
よって
\[ PSL_{2}({\bf Z}) = \left\{ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}
   \mid a,b,c,d \in {\bf Z} \, , \, ad-bc = 1 \right\} \Big/ \{\pm I\} \]
の元について変換公式がある.

Dedekind が Riemann 全集の注（ただし10ページ以上ある）
において $s(h,k)$ を導入してこの変換公式を記述した.

\begin{flushleft}
$s(h,k)$ の応用
\end{flushleft}

\begin{itemize}
\item{実二次体の L 関数の特殊値}
\item{平方剰余の相互法則}
\item{格子点の個数の計算}
\item{Pseudo-radom number の検定 ( in computer science )}
\end{itemize}

\begin{flushleft}
$s(h,k)$ の性質
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item{$h \equiv h' \pmod{k}
\Rightarrow s(h,k) \equiv s(h',k) \pmod{k}$}
\item{相互法則}

\[ s(h,k) + s(k,h) = \frac{1}{12}
    \left(\frac{k}{h} + \frac{1}{hk} + \frac{h}{k}\right) \]

1,2 を組み合わせると $s(h,k)$ を互除法によって高速に計算できる.

\hspace{5mm}

\item{$h_{1},h_{2} \in {\bf Z} \, , \, (h_{i},k) = 1$
      \[ \DEDEKINDSUM{h_{1}}{h_{2}} = \frac{1}{4k} 
      \sum_{j \bmod k,j \not\equiv 0}
      \cot\left(\frac{{\pi}h_{1}j}{k}\right)
      \cot\left(\frac{{\pi}h_{2}j}{k}\right). \]}
\end{enumerate}

さて、Double Zeta とDedekind 和を結びつけよう．
\newcommand{\DOUBLEZETA}[2]{\{{#1}\,\omega_{1} + {#2}\,\omega_{2}\}^{-s}}

\begin{eqnarray*}
  \zeta (s , (x_{1},x_{2}) , (\omega_{1},\omega_{2}))
    & := & \sum_{m_{1}, m_{2}=0}^{\infty}
           \DOUBLEZETA{(x_{1}+m_{1})}{(x_{2}+m_{2})} \hspace{5mm} 
           (Re(s) > 2) \\     
    & = & \zeta_{2}(s , x_{1}\omega_{1}+x_{2}\omega_{2} 
          \mid (\omega_{1},\omega_{2})). 
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
  \zeta (0 , (x_{1},x_{2}) , (\omega_{1},\omega_{2}))
    & = & \frac{1}{\omega_{1}\omega_{2}}
          \left\{B_{2}(x_{1})\omega_{1}^{2} + 
                 2B_{1}(x_{1})B_{1}(x_{2})\omega_{1}\omega_{2}
                 B_{2}(x_{2})\omega_{2}^{2}\right\} \label{eq:DZETAZERO} \\
    & & \left( B_{1}(x) = x - \frac{1}{2} \, , \,
               B_{2}(x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}\right)
\end{eqnarray}

\hspace{5mm}

平面上の格子点の集合 $A$ に対して，
\[ Z_{A}(s , (x_{1},x_{2}) , (\omega_{1},\omega_{2})) :=
   \sum_{(m_{1},m_{2}) \in A}^{}
   \DOUBLEZETA{(x_{1}+m_{1})}{(x_{2}+m_{2})} \]
そして，$Z_{A}(s , (0 , 0) , (\omega_{1},\omega_{2}))$ を
$Z_{A}(s , \omega_{1},\omega_{2})$ と書くことにする．

$c , d \in {\bf N} \, , \, (c ,d) = 1$

\begin{eqnarray*}
  {\bf N}^{2} & = & A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}  \\
   A_{1} & = & \left\{ (m , n) \mid n < \frac{d}{c}m \right\} \\
   A_{2} & = & \left\{ (m , n) \mid n > \frac{d}{c}m \right\} \\
   A_{3} & = & \left\{ (m , n) \mid n = \frac{d}{c}m \right\} \\
         & = & {\bf N}\cdot ( c,d )
\end{eqnarray*}
とおく．
\begin{eqnarray*}
  \sum_{(m , n) \in {\bf N}^{2}}\DOUBLEZETA{m}{n}
    & = & \zeta (s , (1,1) , (\omega_{1},\omega_{2})) \\
  左辺 & = & Z_{A_{1}}(s , \omega_{1},\omega_{2}) +
             Z_{A_{2}}(s , \omega_{1},\omega_{2}) +
             Z_{A_{3}}(s , \omega_{1},\omega_{2}). 
\end{eqnarray*} 

以下，ここから Dedekind 和の相互法則を導く．

\begin{Lem}
\[ Z_{A_{3}}(s , \omega_{1},\omega_{2}) =
   \DOUBLEZETA{c}{d} \zeta (s) \]
\end{Lem}

{\it proof}
自明．
\QED

\newcommand{\DECIMALPART}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}

\begin{Lem}[Shintani]
\[ A_{1} = \{(a_{j}+m)(c , d) + (b_{j}+n)(1 , 0) \mid 
   j \bmod d \, , \, m , n \in {\bf Z}_{\ge 0}\} \]
但し，
$\displaystyle a_{j} = \DECIMALPART{\frac{j}{d}}\,\, , \,\,
  b_{j} = \DECIMALPART{-\frac{cj}{d}}$
$( \DECIMALPART{x} \, は，\, x - \DECIMALPART{x} \in {\bf Z}\, , \,
  0 <  \DECIMALPART{x} \le 1 なるもの. )$
\end{Lem}

{\it proof}

\[ F = \{ \, u(c , d) + v(1 ,0) \mid 0 < u \, , \, v \le 1\} \]

とおくと，

\[ A_{1} = \dot{\bigcup_{P \in F \, \cap \, {\bf Z}^{2}}}
           \left\{ P + {\bf Z}_{\ge 0}(c , d) + 
                   {\bf Z}_{\ge 0}(1 ,0) \right\}. \]
ただし，$\dot{\bigcup}$ は disjoint union を表わす．

\hspace{5mm}

$\, u(c , d) + v(1 ,0) \in F \, \cap \, {\bf Z}^{2}$
となる条件　つまり，
$c u + v \in {\bf Z} \, , \, du \in {\bf Z}
, \; 0 < u \, , \, v \le 1 なる (u , v)$

即ち、$u$ については、
$\displaystyle u = \frac{j}{d} \, , \, j=1,2,\cdots,d.$


このとき、
$\displaystyle v = -\frac{cj}{d} + m , \, m \in {\bf Z}$ 
が $0 < v \le 1$ となるのは，

$\displaystyle v = \DECIMALPART{-\frac{cj}{d}}$ のみ

\hspace{5mm}

結局，$\displaystyle u = \DECIMALPART{\frac{j}{d}}\; , \;
v = \DECIMALPART{-\frac{cj}{d}}.$

同様にして，
\[ A_{1} = \{(a_{k}'+m)(c , d) + (b_{k}'+n)(0 , 1) \mid 
   k \bmod c \, , \, m , n \in {\bf Z}_{\ge 0}\} \]
但し，
$\displaystyle a_{j} = \DECIMALPART{\frac{j}{d}}\,\, , \,\,
   b_{j} = \DECIMALPART{-\frac{cj}{d}} $
\QED

\hspace{5mm}

すると，
\begin{eqnarray*}
  Z_{A_{1}}(s , \omega_{1},\omega_{2})
    & = & \sum_{j \bmod d} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty}
          \DOUBLEZETA{((a_{j}+m)c + (b_{j}+n))}{(a_{j}+m)d} \\
    & = & \sum_{j \bmod d} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty}
          \{(b_{j}+n)\omega_{1} + 
          (a_{j}+m)(c \omega_{1} + d \omega_{2})\}^{-s} \\
    & = & \sum_{j \bmod d}
          \zeta (s , (b_{j},a_{j}) , (\omega_{1},c\,\omega_{1} + d\,\omega_{2})).
\end{eqnarray*}

$c \omega_{1} + d \omega_{2} = Q$ と書くことにする．

$Z_{A_{2}}(s , \omega_{1},\omega_{2})$ についても同様の表示が
えられる．

これらをあわせると，

\begin{Th}
\begin{eqnarray*}
  \zeta (s , (1,1) , (\omega_{1},\omega_{2})) 
    & = & \sum_{j \bmod d}\zeta 
          \left(s , 
            \left(\DECIMALPART{-\frac{cj}{d}} ,
                  \DECIMALPART{\frac{j}{d}}\right) ,
            (\omega_{1},Q)\right) \\
    & & {}+ \sum_{k \bmod c}\zeta  
            \left(s , 
            \left(\DECIMALPART{-\frac{dk}{c}} ,
                  \DECIMALPART{\frac{k}{c}}\right) ,
            (\omega_{2},Q)\right) \\
    & & {}+Q^{-s}\zeta (s)
\end{eqnarray*}
\end{Th}

\hspace{5mm}

$s = 0$ を代入して，$(\omega_{1},\omega_{2})$ についての恒等式と
考えると，Dedekind 和の相互法則が導ける．
（\pageref{eq:DZETAZERO} ページの式 (\ref{eq:DZETAZERO}) を用いる．）

\begin{flushleft}
{\bf 一般化}
\end{flushleft}

\begin{itemize}
\item{$s = -n \; n \in {\bf N}$ のとき \,
      $\rightarrow$ \, Carlitz の Dedekind 和の相互法則．} 
\item{$\DOUBLEZETA{x + m}{n}$ の和から出発する \,
      $\rightarrow$ \, 非同次 Dedekind 和の相互法則．} 
\item{Multiple Zeta で空間分割して考える．\,
      $\rightarrow$ \, Halbritten の一般 Dedekind 和．}
\end{itemize}

S.Egami, in "Analytic Number Theory and Related Topics" \\
World Scientific, 1993 , pp. 17-27

\hspace{5mm}

微分して $s = 0$ とおくと，次の”Double Gamma の相互法則”を得る．

\begin{eqnarray*}
  & & \prod_{j \bmod d}\Gamma_{2}
        \left(
          \DECIMALPART{-\frac{cj}{d}}\omega_{1} +
          \DECIMALPART{\frac{j}{d}}Q \big| (\omega_{1},Q) 
        \right) \\
  & & \times 
      \prod_{k \bmod c}\Gamma_{2}
        \left(
          \DECIMALPART{-\frac{kd}{c}}\omega_{2} +
          \DECIMALPART{\frac{k}{c}}Q \big| (\omega_{2},Q) 
        \right) \\
  & = & 
      \frac{\rho_{2}(\omega_{1},Q)^{c}\rho_{2}(\omega_{2},Q)^{d}}
           {\rho_{2}(\omega_{1},\omega_{2})}
      \sqrt{\frac{2{\pi}Q}{\omega_{1}\omega_{2}}}
\end{eqnarray*}

\begin{flushleft}
{\bf 関数等式}$\; ( Re(s) > 0 での級数展開 )$
\end{flushleft}

\[ \omega_{1} , \cdots , \omega_{r} \hspace{1cm} 
\omega_{i}/\omega_{j} \not\in {\bf Q} \]
と仮定する．

\begin{eqnarray*}
 & & \zeta_{r} (s , (x_{1},\cdots,x_{r}) , (\omega_{1},\cdots,\omega_{r})) \\
 & = & \zeta_{r} (s , {\bf x} , \Omega) 
  := \zeta_{r} (s , x_{1}\omega_{r} + \cdots + x_{r}\omega_{r} \mid \Omega)  
\end{eqnarray*}

\newcommand{\EXPONENT}[1]{e^{-2{\pi}i {#1} }}

\begin{Th}
$0 < x_{j} \le 1 のとき，実数列 \, \{R_{\mu}\} \; , \;
R_{\mu} \uparrow \infty \hspace{2mm}
(\mu \to \infty) が存在して，Re(s) < 0$で

\begin{eqnarray*}
   \zeta_{r}(s , {\bf x} , \Omega)
  & = & \frac{1}{\Gamma (s)(\EXPONENT{s}-1)}
        \lim_{\mu \to \infty}\sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{\omega_{j}} \\
  & & \times \sum_{m_{j}\not{=}0,|m_{j}| \le R_{\mu}}{m_{j}}^{s-1}
             \left( \prod_{1 \le \nu \le r,\nu \not{=}j} 
             \frac{\EXPONENT{x_{\mu}\frac{\omega_{\nu}}
	     {\omega_{j}}m_{j}}}{1}
             \right) \\
  & & \times \EXPONENT{x_{j}m_{j}} 
\end{eqnarray*}
\end{Th}

\begin{Rem}
$\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r-1} \hspace{3mm}
({}^{\forall} \alpha_{j} \not\in {\bf Q})$ に対し,

\begin{eqnarray*}
  H(s , \alpha {\bf x})
& = & \sum_{m \in {\bf Z} , m \not{=} 0}^{}m_{s-1} \cdot
      \frac{\EXPONENT{(\alpha_{1}x_{1} + \cdots +
      \alpha_{r-1}x_{r-1})m}}
      {(1-\EXPONENT{\alpha_{1}m}) \cdots
       (1-\EXPONENT{\alpha_{r-1}m})} \\
  \{\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r-1}\}
& = & \left\{ \frac{\omega_{j}}{\omega_{i}} \; \big| \;
              j = 1 , 2 , \cdots \right\}
\end{eqnarray*}

$1 , \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r-1}$ が ${\bf Q}$ 上
１次独立とすると, $Re(s) \ll 0$ で絶対収束が示せる.
by some 同時近似定理（algebraic numbers）Roth , Schmidt , etc.
\end{Rem}

{\it proof}

\begin{eqnarray*}
\Gamma (s) \zeta (s , {\bf x} , \Omega )
  & = & \int_{0}^{\infty}t^{s-1}
           \prod_{i = 1}^{r}\frac{e^{-x_{i}\omega_{i}t}}
                                 {1-e^{-\omega_{i}t}}dt \\
  & = & \int_{\varepsilon}^{}t^{s-1}
           \prod_{i = 1}^{r}\frac{e^{-x_{i}\omega_{i}t}}
                                 {1-e^{-\omega_{i}t}}dt             
\end{eqnarray*}

%(無限遠点からゼロへのCountor 積分)
%(小円の半径をイプシロンとする.)
\vspace{1cm}
\[
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1mm,1mm> 
\setplotarea x from -30 to 30, y from -30 to 30
\putrule from -30 0 to 30 0
\putrule from 0 -30 to 0 30
\circulararc 353 degrees from 20 1 center at 0 0
\putrule from 20 1 to 30 1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 10 17.3 to 8 18.3
\putrule from 20 -1 to 30 -1
%\arrow <1mm> [0.5,1] from 15 -1 to 20 -1 
%\small
\put {$\scriptstyle R_{\mu}$} at 2 22
%\put {$K(\varepsilon)$} at -7 7
\endpicture
\]

$\varepsilon \to \infty$ として留数をひろう.
このとき,半径 $\varepsilon$ の円が singularity を通らないように,
半径 $R_{\mu}$ , $R_{\mu} \to \infty$ を定める.
\QED

\hspace{5mm}

$r = 2$ のとき,
\[ H(s , \alpha \, (x_{1} , x_{2}) ) =
    \sum_{m \in {\bf Z} , m \neq 0}^{} m^{s-1} \cdot
    \frac{\EXPONENT{m(\alpha x_{1} + x_{2})}}
{1-\EXPONENT{m\alpha}} \]

Arakawa の generalized $\eta$ - 関数
$\alpha \in \overline{\bf Q}$ なら $Re(s) < 0$
で絶対収束.

(by , Roth の定理 , 一様分布の議論)
$\alpha$ が２次無理数なら, $s$ について,
{\bf C} 上有利型に延長される.\footnote{T.Arakawa, Math.Ann. 260 (1982) 475-494.}


一般には $H (s , \alpha ,{\bf x} )$ の解析接続の問題は
未解決. 

\begin{Def}[Shintani Zeta]
\[ A = \pmatrix{
                a_{11} & \ldots & a_{1r} \cr
                \vdots & \ddots & \vdots \cr
                a_{l1} & \ldots & a_{lr} \cr
          }
a_{ij} > 0 \]
$x = (x_{1} , \cdots x_{r}) \hspace{5mm} x_{i} > 0$
$L_{i}(y) = x_{i} + a_{i1}y_{1} + \cdots + a_{ir}y_{r}$
\[ \zeta (s , A , x) := \sum_{m_{1},\cdots,m_{r}=0}^{\infty}
                                \prod_{i = 1}^{l}{L_{i}(m)}^{-s}
\]
\end{Def}

総実代数体の Zeta
\[ \sum_{\alpha \in C}^{}(N_{k}\alpha)^{-s} \]
$C : {\bf R}^{n}$ 内のある Lattice $\cap$ cone.

\begin{eqnarray*}
\alpha & = &
   a_{1}\omega_{1} + \cdots a_{n}\omega_{n}. \\
N\alpha & = &
   \prod_{i=1}^{n}\left(
         a_{1}\omega_{1} ^{(i)}+ \cdots a_{n}\omega_{n}^{(i)}
                   \right).
\end{eqnarray*}

なので, おおよそ Shintani Zeta になる.
正確にいうと, Shintani Zeta の有限和でかける.実二次体の場合{\bf Lemma 4.2}
がそのような分解を具体的に与える。
Shintani は総実代数体での 0 や負の整数点での値, 0 での
導関数を求めるために Shintani Zeta を導入した.

\hspace{5mm}

以下, $r = l = 2$ の場合について, 解析接続, 特殊値の計算を行なう.

\[ \sum_{m ,n}^{}\{(a + m\omega_{1} + n\omega_{2})
    (b + m\omega_{1}' + n\omega_{2}')\}^{-s} \]
$\omega_{1}\omega_{1}'$ で割ることで,
$\omega_{1} = \omega_{1}' = 1$ となる.
よって,

\[ A = \pmatrix{
           1 & a \cr
           1 & b \cr
          } \hspace{3mm} 0 < a < b
\]

としてしまっても一般性を失わない.

\begin{eqnarray*}
\zeta (s , A , (x , y)) 
& := & \sum_{m,n=0}^{\infty}
       \{(x + m + (y+n)a)(x + m + (y+n)b)\}^{-s}
\end{eqnarray*}

としても同じなので, これを扱う. $(x>0 , y>0)$
$Re(s) > 1$ とすると,

\begin{eqnarray}
\Gamma(s)^{2}\zeta (s , A , (x , y))
  & = & \sum_{m,n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
           \left(\frac{t_{1}}{x + m + (y+n)a}\right)^{s}
           \left(\frac{t_{2}}{x + m + (y+n)b}\right)^{s} \nonumber \\
  & &   \times e^{-t_{1}-t_{2}} \cdot
        \frac{dt_{1}dt_{2}}{t_{1}t_{2}} \nonumber \\
  & = & \sum_{m,n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
           (t_{1}t_{2})^{s-1}
           e^{-t_{1}(x + m + (y+n)a)-t_{2}(x + m + (y+n)b)}
           dt_{1}dt_{2} \nonumber \\
  & = & \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}(t_{1}t_{2})^{s-1}
           \cdot \frac{e^{-x(t_{1}+t_{2})}}{1-e^{-(t_{1}+t_{2})}}
           \cdot \frac{e^{-y(at_{1}+bt_{2})}}{1-e^{-(at_{1}+bt_{2})}}
           \label{eq:DOUBLEINT}
\end{eqnarray}

\hspace{5mm}

Shintani's original method :
\[ \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} = \int\!\int_{t_{1} > t_{2}}
    + \int\!\int_{t_{1} \le t_{2}} = I_{1} + I_{2} \]
とする.

$t_{1} = t \, , \, t_{2} = ut$ とおくと,

\[ \pmatrix{
        t_{1} , t_{2} > 0 \cr
        t_{1} > t_{2} \cr
    }
    \Longleftrightarrow
    t > 0 \, , \, 0 < u <1
\]

\[
\frac{\partial (t_{1} , t_{2})}{\partial (t , u)}
    = \left| \matrix{
               1 & 0  \cr
               u & t  \cr
             } \right|
    = t.
\]
よって
\begin{eqnarray*}
  I_{1} & = & \int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty}
                    (t \cdot ut)^{s-1}\cdot
                    \frac{e^{-x(t+ut)}}{1-e^{-(t+ut)}}\cdot
                    \frac{e^{-y(at+but)}}{1-e^{-(at+but)}}\cdot
                    t dtdu \\
           & = & \int_{0}^{1}u^{s-1}\int_{0}^{\infty}t^{2s-1}
                    \frac{e^{-xt(1+u)}}{1-e^{-t(1+u)}}\cdot
                    \frac{e^{-yt(a+bu)}}{1-e^{-t(a+bu)}} dtdu
\end{eqnarray*}

\[ g(t ,u) \stackrel{\rm def}{=}
    \frac{e^{-x(t+ut)}}{1-e^{-(t+ut)}}\cdot
    \frac{e^{-y(at+but)}}{1-e^{-(at+but)}} \]
とおく。

\vspace{1cm}
\[
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1mm,1mm> 
\setplotarea x from -30 to 30, y from -20 to 20
\putrule from -30 0 to 30 0
\putrule from 0 -20 to 0 20
\circulararc 335 degrees from 5 1 center at 0 0
\putrule from 5 1 to 15 1
\putrule from 5 -1 to 15 -1
\putrule from 15 -1 to 15 1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 10 1 to 8 1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 10 -1 to 12 -1 
\put {$\scriptstyle C_{1}$} at 6 5
\put {$\scriptstyle 1$} at 16 1.2
\endpicture
\]

\[ \qquad \ \ 
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1mm,1mm> 
\setplotarea x from -25 to 35, y from -30 to 30
\putrule from -25 0 to 35 0
\putrule from 0 -25 to 0 25
\circulararc 335 degrees from 5 1 center at 0 0
\putrule from 5 1 to 35 1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 20 1 to 15 1
\putrule from 5 -1 to 35 -1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 15 -1 to 20 -1 
\put {$\scriptstyle C_{\infty}$} at 17 5
\endpicture
\]

\begin{eqnarray*}
%C_{1}:(１から０のまわりをまわる積分路)
%C_{\infty}:(無限遠点から０のまわりをまわる積分路)
%
  & = & \int_{0}^{\infty}t^{2s-1} \cdot \frac{1}{e^{2{\pi}is}-1}
           \int_{C_{1}}^{}u^{s-1} g(t , u) dudt \\
  & = & \frac{1}{e^{2{\pi}is}-1} \cdot \frac{1}{e^{4{\pi}is}-1}
           \times \int_{C_{\infty}}^{}t^{2s-1}
           \int_{C_{1}}^{}u^{s-1} g(t , u) dudt . \\
  & & \\ 　
    \zeta (s , A , (x,y)) & = &
    \frac{1}{\Gamma (s)^{2}e^{2{\pi}is}-1e^{4{\pi}is}-1} \\
    & & \times \int_{C_{\infty}}^{}t^{2s-1}
                      \int_{C_{1}}^{}u^{s-1} g(t , u) dudt + (\dagger)
\end{eqnarray*}

$(\dagger) \cdots I_{2}$ の同様の表示式.

\hspace{5mm}

これによって, 全平面への解析接続が与えられる.
また, $s = 0$ , 負の整数のとき $C_{\infty} , C_{1}$ は原点の
まわり小円に置き換えてよく, 留数計算によって特殊値がわかる.

\begin{flushleft}
{\bf Another Method}
\end{flushleft}
(こちらの方が Barnes Zeta との関係が見易い.)

\pageref{eq:DOUBLEINT}ページ (\ref{eq:DOUBLEINT}) において，
$t = t_{1} + t_{2} \, , \, tu = at_{1} + bt_{2}$
とおく．

\[ t_{1}  =  \frac{1}{b - a} 
             \left| 
                \matrix{ 
                         t & 1 \cr
                         tu & b \cr 
                }  
             \right|  
          =  \frac{t(b - u)}{b - a} \]
\[ t_{2}  =  \frac{1}{b - a} 
             \left| 
                \matrix{
                         1 & t \cr
                         a & tu \cr
                } 
              \right|  
          =  \frac{t(u - a)}{b - a} \]
$t_{1} > 0 \, , \, t_{2} > 0$ より $a < u < b.$

また，
Jacobian $\displaystyle = \frac{t}{b - a}$

よって，
\begin{eqnarray*}
 (\ref{eq:DOUBLEINT}) 
    & = & \frac{1}{(b - a)^{2s-1}}
          \int_{a}^{b}\{ (b - u)(u - a) \}^{s-1} du \\
    & & \times \int_{0}^{\infty} t^{2s-1}\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}}
               \cdot \frac{e^{-yut}}{1-e^{-ut}} dt            
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
  \int_{0}^{\infty} t^{2s-1}\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}}
   \cdot \frac{e^{-yut}}{1-e^{-ut}} dt 
    & = & \int_{0}^{\infty} t^{2s-1}
          \frac{e^{-t(x+yu)}}{(1-e^{-t})(1-e^{-ut})} \\
    & = & \Gamma (2s)\cdot\zeta_{2} (2s , x+yu \mid (1 , u))
\end{eqnarray*}

故に，

\begin{eqnarray*}
  \zeta (s , A , (x ,y)) 
     & = & \frac{1}{(b - a)^{2s-1}}\frac{\Gamma (2s)}{\Gamma (s)^{2}}
           \int_{a}^{b}P(u)^{s-1}\zeta_{2} (2s , x+yu \mid (1 , u)) du. \\
     & & {\rm where} \;\; P(u) = (u - a)(b - u) \;\;
         {\rm for} \;\; Re(s) > 1
\end{eqnarray*}

$\zeta_{2}$ の解析接続を考えると，$Re(s) > 0$ まで積分は収束．

\begin{Lem}
$D \subset {\bf C}$ 領域
$f(z) : D$ で正則．
$c_{1} , \cdots , c_{N} \in D \;\; 
 \nu_{1} , \cdots , \nu_{N} \in {\bf N}$　　

次のような多項式 $P(z)$ が構成できる．

\[
f(z) - P(z) = O\left(|z - c_{j}|^{\nu_{j}}\right) 
\hspace{3mm} {\rm as} \; z \to c_{j} \hspace{3mm} 
(j = 1 , \cdots , N)
\]
\end{Lem}

{\it proof}

\begin{eqnarray*}
 Q(z) & := & (z - c_{1})^{\nu_{1}} \cdots (z - c_{N})^{\nu_{N}} \\
 Q_{j}(z) & := & Q(z) / (z - c_{j})^{\nu_{j}} \\
 F(z) & := & f(z) / Q(z) 
\end{eqnarray*}
とする．

$c_{j}$ における $F(z)$ の主要部を
$\displaystyle \frac{1}{(z-c_{j})^{\nu_{j}}}P_{j}(z)$ とすると,
$P_{j}(z) , Q_{j}(z) \in {\bf C}[z].$

$\displaystyle H(z) := F(z) - \sum_{j=1}^{N}
  \frac{P_{j}(z)}{(z-c_{j})^{\nu_{j}}}$ は $D$ で正則.

よって, $f(z) = F(z)Q(z)$ なので

\begin{eqnarray*}
  F(z) - \sum_{j=1}^{N}P_{j}(z)Q_{j}(z)
      & = & F(z)Q(z)- \sum_{j=1}^{N}P_{j}(z) \cdot
               \frac{Q(z)}{(z-c_{j})^{\nu_{j}}} \\
      & = & H(z)Q(z).
\end{eqnarray*}

よって,
$\displaystyle P(z) = \sum_{j=1}^{N}P_{j}(z)Q_{j}(z)$
ととればよい.
\QED

特に,
$N = 2 \, , \, c_{1} = a \, , \, c_{2} = b \, , \, \nu_{1} = \nu \, , \,
  \nu_{1} = \nu \, , \, \nu_{2} = \mu$ のとき,

\begin{eqnarray*}
   P_{1}(z) & = & \sum_{m=0}^{\nu - 1}
                          \left(\frac{d}{dz}\right)^{m}
                          \frac{f(z)}{(z - b)^{\mu}} \Big|_{z=a}
                          (z - a)^{m}\frac{1}{m!} \\
   P_{2}(z) & = & \sum_{n=0}^{\mu - 1}
                          \left(\frac{d}{dz}\right)^{n}
                          \frac{f(z)}{(z - a)^{\mu}} \Big|_{z=b}
                          (z - b)^{n}\frac{1}{n!}
\end{eqnarray*}

\hspace{5mm}

\[ P(z) = (z - b)^{\mu}\sum_{m=0}^{\nu - 1}A_{m}(z - a)^{m}
           + (z - a)^{\nu}\sum_{n=0}^{\mu - 1}B_{n}(z - b)^{n}.
\]

where

\begin{eqnarray*}
    A_{m} & = & \sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(m-k)}(a)}{(m-k)!}
                       {-\mu \choose k}\frac{1}{(a-b)^{\mu+k}} \\
    B_{n} & = & \sum_{l=0}^{n}\frac{f^{(n-l)}(b)}{(n-l)!}
                       {-\nu \choose l}\frac{1}{(b-a)^{\nu+l}}
\end{eqnarray*}

$\mu = \nu = 1$ のとき
\[ A_{0} = \frac{f(a)}{a-b} \;\; , \;\; B_{0} = \frac{f(b)}{b-a} \]
\[ P(z) = \frac{1}{b-a}\left\{
              (z-a)f(b) + (b-z)f(a) \right\} \]
よって,
\begin{eqnarray*}
   F(s , u) & := & \zeta_{2} (2s , x+yu \mid (1 , u)) \\
            & & {}- \frac{1}{b-a}\left\{
                (b - u)\zeta_{2} (2s , x+ya \mid (1 , a))
                + (u - a)\zeta_{2} (2s , x+yb \mid (1 , b)) \right\}.
\end{eqnarray*}

とおくと,

\[
\int_{a}^{b}P(u)^{s-1} F(s , u) du \; \left( = H(s) \right)
\]

は $\zeta_{2} (2s , \cdots)$ の pole を除いて $Re(s) > -1$ で正則.

\hspace{5mm}

すると,

\begin{eqnarray*}
   \zeta_{2} (s , A , (x , y))
       & = & \frac{\Gamma (2s)}{\Gamma (s)^{2}}
                \frac{1}{(b-a)^{2s-1}} \\
       & & \times \left[ \frac{1}{b-a}\left\{
                         \zeta_{2} (2s , x+ya \mid (1 , a))
                         \int_{a}^{b}(b-u)^{s}(u-a)^{s-1} du
			 \right.\right. \\
       & & {}+ \left.\left. \zeta_{2} (2s , x+yb \mid (1 , b))
                \int_{a}^{b}(b-u)^{s-1}(u-a)^{s} du
                \right\} + H(s) \right] \\
       & = & \frac{1}{2} \left\{
             \zeta_{2} (2s , x+ya \mid (1 , a)) +
	     \zeta_{2} (2s , x+yb \mid (1 , b))
	     \right\} \\
       & & {} + \frac{\Gamma (2s)}{\Gamma (s)^{2}}
	   \cdot \frac{1}{(b-a)^{2s-1}}H(s)
\end{eqnarray*}

ここで, $s = 0$ とすると第二項は $0$ になることに注意すれば,

\begin{Th}
 \begin{eqnarray*}
    \zeta (0 , A , (x , y))
   & = & \frac{1}{2}\left\{
         \zeta_{2} (0 , x+ya \mid (1 , a)) +
	 \zeta_{2} (0 , x+yb \mid (1 , b) \right\} \\
    \zeta{'} (0 , A , (x , y))
   & = & \frac{1}{2}\left\{
	 \zeta_{2}{'} (0 , x+ya \mid (1 , a)) +
	 \zeta_{2}{'} (0 , x+yb \mid (1 , b)) \right\} \\
   & & {} + \frac{b-a}{4ab} \log\left(\frac{a}{b}\right)B_{2}(x)
	  \end{eqnarray*}
\end{Th}

以上の方法は S.Egami,\, Mathematika 33 (1986)

$\mu \, , \, \nu$ がより大きいところまでこの補間をすすめると,

\hspace{5mm}

$k :$ nonnegative integer

\[ \xi_{2 , k} (s , \omega ; x , y) :=
    \sum_{m,n = 0}^{\infty}
        \frac{(y + n)^{k}}{(x + m + (y + n)\omega)^{s+k}}
	    \hspace{5mm} (Re(s) > 2)
\]

\begin{Th}
 \begin{eqnarray*}
    \zeta (-n , A , (x , y))
   & = & \frac{1}{2}\sum_{k = 0}^{n}
	 {n \choose k}(b-a)^{k}\left\{
	 \xi_{2 , k} (-2n , a ; x , y) +
         (-1)^{k} \xi_{2 , k} (-2n , b ; x , y)
	 \right\} \\
    \zeta{'} (-n , A , (x , y))
   & = & \sum_{k = 0}^{n}
	 {n \choose k}(b-a)^{k}\left\{
	 \xi_{2 , k}{'} (-2n , a ; x , y) +
	 (-1)^{k} \xi_{2 , k}{'} (-2n , b ; x , y)
	 \right\} \\
   & & + E (a , b , x , y)
\end{eqnarray*}
 $E (a , b , x , y) \, , \, a , b , x , y$ の初等関数.
\end{Th}
$m \in {\bf Z} \, , \, m \ge k$ に対し
\begin{eqnarray*}
   \xi_{2 , k} (-m , u ; x , y)
  &=& \frac{(-1)^{m}}{(m+1-k)(m+2-k)} \\
  & & \times \left\{ \frac{(-1)^{k}}{{{m+2} \choose k}}
      B_{m+2}(x)\frac{1}{u^{k+1}}
      + \sum_{l = 0}^{m+2-k}
      {{m+2-k} \choose l}B_{m+2-k-l}(x)
      B_{k+l}(y)u^{l-1} \right\}
\end{eqnarray*}

\begin{Rem}
$\xi_{2 , k} (s , u ; x , y)$ は $s = 2 , 1 , \cdots , 1-k$
に simple pole を持つ
実際

\[
 \xi_{2 , k} (s , u ; x , y) =
   \frac{(-1)^{k}}{s(s+1)\cdots(s+k-1)}
   \left(\frac{\partial}{{\partial}u}\right)^{k}
   \zeta_{2} (s , x +yu \mid (1 , u))
\]

となっている.
\end{Rem}

\[
 \xi_{2 , k} (s , u ; x , y) =
 \sum_{\nu=0}^{k}c^{(\nu)}(u ; k)
 \zeta_{2+\nu} (s+k , x +(\nu+y)u \mid
 (1 , \underbrace{u , \cdots , u}_{\nu+1}))
\]

も成立する. ここに $c^{(\nu)}(u ; k)$ は
\[
 e^{ux}(e^{x}-1)^{n} = \sum_{l=n}^{\infty}
 \frac{x^{l}}{l!}c^{(\nu)}(u ; l)
\]
によって定義されるものとする.
    
\begin{Rem}
 \[ \zeta (s_{1} , \cdots , s_{l} , A , x) :=
     \sum_{m_{1} , \cdots , m_{l}=0}^{\infty}
     \prod_{i = 1}^{l}L_{i}({\bf m})^{-s_{i}} \]
 は ${\bf C}^{l}$ に有理型に解析接続される. (Imai , 1981)
\end{Rem}

\begin{Rem}
行列の Size を変えて,
\[ \sum_{k=1}^{\infty}
   \frac{1}{(k+\alpha)^{s_{1}}(k+\beta)^{s_{2}}}
\]
も Shintani Zeta とみなせる.
これは Kumagai, 数理研講究録1060 (1998),154-165 などで異なる方法で扱われているが、ここのやり方でもできるはず。
\end{Rem}


\section{"Singular" ( or ``degenerate'' ) Shintani Zeta and mean value of Hurwitz zeta}

このセクションでは
$A$ のいくつかの行列成分が $0$ となる場合を考察する。最近話題になっているZagierの多重ゼータはこの場合になっているし、ゼータ関数の平均値理論で重要なAtkinsonの方法ではこのようなゼータ関数の解析接続が重要である。

\begin{Example}[Zagier]
\begin{eqnarray*}
   \zeta (s_{1} , \cdots , s_{r})
 & = & \sum_{0<n_{1}<\cdots<n_{r}}
       {n_{1}^{-s_{1}}} \cdots {n_{r}^{-s_{r}}} \\
 & = & \sum_{m_{1},\cdots,m_{r}=0}
       {(1 + m_{1})^{-s_{1}}}{(1 + m_{1} + m_{2})^{-s_{2}}}
       \cdots {(r + m_{1} + \cdots + m_{r})^{-s_{r}}} \\
 & = & \zeta (s , A , (1 , \cdots r)) \; s = (s_{1} , \cdots , s_{r})
\end{eqnarray*}

\[ A = \pmatrix{
             1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr
	     1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \cr
	     1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \cr
	     1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \cr
	     1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \cr
	}
\]
\end{Example}

$r = 2$ のとき

\begin{equation}
   \sum {(n + \alpha)^{-s_{1}}}
   {(n + m + 1 + \alpha)^{-s_{2}}}
   \hspace{3mm}
   A  = \pmatrix{
	    1 & 0 \cr
	    1 & 1 \cr
	}\footnote{Atkinson,Motohashi,Katsurada,Matsumoto}
\label{eq:ATKINSON}
\end{equation}

\begin{equation}
    \sum {(\alpha + m)^{-s_{1}}}
    {(\alpha + m + nwq)^{-s_{2}}}
    \hspace{3mm}
    A = \pmatrix{
	   1 & 0 \cr
	   1 & w \cr
	}\footnote{Matsumoto}
\label{eq:MATSUMOTO}
\end{equation}

$r = 3$ のとき ( Mordell,Zagier )

\begin{equation}
   \sum_{m,n=1}^{\infty}
   {m^{-s_{1}}}{n^{-s_{2}}}
   {(m + n)^{-s_{3}}}
   \hspace{3mm}
	 A = \pmatrix{
	        1 & 0 \cr
		0 & 1 \cr
		0 & 1 \cr
         } \label{eq:MORDELL}
\end{equation}

解析接続が既知なのは (\ref{eq:ATKINSON}) ,
(\ref{eq:MATSUMOTO}) のみ.

\hspace{5mm}

\[ \zeta (s , u) = \sum_{m,n=1}^{\infty}
   {m^{-s}}{(m + n)^{-u}} \]
を考える.

\begin{eqnarray}
  \Gamma (s)\Gamma (u)\zeta (s , u) 
  & = & \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
           x^{s-1}y^{u-1}\sum_{m=1}^{\infty}
           \sum_{n=1}^{\infty}
           e^{-mx-(m+n)y} dxdy \nonumber \\
  & = & \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
           x^{s-1}y^{u-1}\frac{1}{e^{x+y}-1}
           \frac{1}{e^{y}-1} dxdy \label{eq:SHARP}
\end{eqnarray}

\begin{enumerate}
\item{Shintani's method をあてはめてみる.}
\[ I_{1} (s) = \int_{0}^{\infty}t^{s+u-1}
                    \int_{0}^{1}z^{u-1}\cdot
                    \frac{1}{e^{t(1+z)}-1}
                    \frac{1}{e^{tz}-1} dzdt \]
$z$ の path を
%ここにContour 積分の図がはいる

\[
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1mm,1mm> 
\setplotarea x from -25 to 35, y from -30 to 30
\putrule from -25 0 to 35 0
\putrule from 0 -25 to 0 25
\circulararc 335 degrees from 5 1 center at 0 0
\putrule from 5 1 to 35 1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 20 1 to 15 1
\putrule from 5 -1 to 35 -1
\arrow <1mm> [0.5,1] from 15 -1 to 20 -1 
\endpicture
\]

に変形すると, $1 / (e^{tz}-1)$ の factor が $Re(s) < 0$ 
のときに,$t$ についての収束をこわす factor になってしまう
ので, この変形ができない.
\item{Egami's interpolation method では,}
\[
\Gamma (s+u)\int_{0}^{1}(1-z)^{s-1}z^{u-1}
 \underbrace{\zeta_{2} (s+u , 1+z \mid (1,z))}
 _{z = 0 で {\rm singular}} dz
\]
しかも, pole より性質が悪い. (natural boundary?)
\end{enumerate}
よって, 1,2 のような non-singular Shintani に
対して成功した方法はうまくいかない.

\begin{flushleft}
Motohashi's method
\end{flushleft}

\[
(\ref{eq:SHARP}) = 
    \int_{0}^{\infty}\frac{y^{u-1}}{e^{y}-1}
    \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x+y}-1} dxdy
\]

まず $Re(u) > 1 , Re(s) > 1$ としておくわけだが,
実は $Re(s) > 0 , Re(u) > 1 , Re(s+u) > 2$ で収束.

\[ h (z) = \frac{1}{e^{z}-1} - \frac{1}{z} \]

$0 < Re(s) < 1$ として,

上式
\begin{eqnarray}
  & = & \int_{0}^{\infty}\frac{y^{u-1}}{e^{y}-1}
        \int_{0}^{\infty}x^{s-1}h(x+y) dxdy \nonumber \\
  & & {}+ \int_{0}^{\infty}\frac{y^{u-1}}{e^{y}-1}
        \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{x+y} dxdy
        \label{eq:SSHARP}
\end{eqnarray}

ここで
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{x+y} dx = 
    y^{s-1}\Gamma (s)\Gamma (1-s) \hspace{3mm}
    {\rm for} \hspace{3mm} 0 < Re(s) < 1 \]
よって, (\ref{eq:SSHARP}) の第二項は,

\begin{eqnarray*}
 & = & \Gamma (s)\Gamma (1-s) \int_{0}^{\infty}
          \frac{y^{s+u-2}}{e^{y}-1} dy \\
 & = & \Gamma (s)\Gamma (1-s)
          \Gamma (s+u-1) \zeta (s+u-1)
\end{eqnarray*}

一方, $h(z)$ は $z = 0$ で正則なので, (\ref{eq:SSHARP}) の
第一項は Contour 積分に直して,
\[
= \frac{1}{(e^{2{\pi}iu}-1)(e^{2{\pi}is}-1)}
      \int_{C_{\infty}}\frac{y^{u-1}}{e^{y}-1}
      \int_{C_{\infty}}x^{s-1}h(x+y) dxdy
\]
これらをまとめて

\begin{Th}
[Motohashi]\footnote{Proc. Japan Acad. 61 (1985) 222-224.
詳しくは Katsurada - Matsumoto, Math. Z. 208 (1991) 23-39.}
\begin{eqnarray*}
\zeta (s , u) 
  & = & \frac{1}{\Gamma (s)\Gamma (u)
           (e^{2{\pi}iu}-1)(e^{2{\pi}is}-1)}
           \int_{C_{\infty}}\frac{y^{u-1}}{e^{y}-1}
           \int_{C_{\infty}}x^{s-1}h(x+y) dxdy \\
  & & {} + \frac{\Gamma (1-s)}{\Gamma (u)}
         \Gamma (s+u-1) \hspace{3mm} {\rm for}
         \hspace{3mm} Re(s) < 1 , {}^{\forall}u \in {\bf C}
\end{eqnarray*}
\end{Th}

この方法は, $\zeta (s_{1} , \cdots , s_{r}) , r \ge 3$ の
ときはできていない.

ただし, $\zeta (m_{1} , \cdots , m_{r-1} , s) , 
\hspace{2mm} 
m_{1} , \cdots , m_{r-1} \in {\bf Z} , 
\hspace{2mm} 
m_{i} \ge 2$ の解析接続は得られている. 
( Arakawa - Kaneko , preprint )

\begin{flushleft}
{\bf Zeta の二乗平均}
\end{flushleft}

\[
\int_{0}^{T}|\zeta (\sigma + it)|^{2} dt , \hspace{3mm}
  \sum_{\chi \bmod k}|L (s , \chi)|^{2} , \hspace{3mm}
  \sum_{a = 1}^{k}\left|
  \zeta \left(s , \frac{a}{k}\right)\right|^{2}
\]
を, $T , k$ について評価する問題.

\begin{eqnarray*}
  \zeta (s)\zeta (u) 
& = & \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}
         \frac{1}{m^{s}n^{u}} \\
& = & \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{s+u}}
      + \sum_{m>n}^{} + \sum_{m<n}^{}
\end{eqnarray*}
ここで
\[
\sum_{m<n}^{} = \sum_{m<n}^{}\frac{1}{m^{s}n^{u}}
    = \zeta (s , u) \hspace{5mm} {\rm (Zagier \, Zeta)}
\]
になっている.
よって
\[
\zeta (s)\zeta (u) = 
\zeta (s+u) + \zeta (s , u) + \zeta (u , s)
\]

$p :$ 素数

\begin{eqnarray*}
    & & \sum_{\chi \bmod p}^{}
        L(u , \chi)L(v , \overline{\chi}) \hspace{1cm}
	{\rm (by \; p.\pageref{eq:DIRICHLETL} \,
	(\ref{eq:DIRICHLETL}))} \\
    & = & p^{-u-v} \sum_{\chi}\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}
             \chi(a)\overline{\chi}(b)
             \zeta \left(u , \frac{a}{p}\right)
             \zeta \left(v , \frac{a}{p}\right) \\
    & = & p^{-u-v} \sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}
             \zeta \left(u , \frac{a}{p}\right)
             \zeta \left(v , \frac{a}{p}\right)
             \sum_{\chi}\chi(a)\overline{\chi}(b) \\
    & = & p^{-u-v}(p-1) \sum_{a=1}^{p-1}
             \zeta \left(u , \frac{a}{p}\right)
             \zeta \left(v , \frac{a}{p}\right) 
\end{eqnarray*}
ここで
\[
\sum_{\chi}\chi(a)\overline{\chi}(b)
           = \cases{
                  p-1 & $a = b$ \cr
                  0 & $a \neq b$ \cr
               }
\]
を用いた.

\begin{Rem}

$\sum|L(s , \chi)|^{2r} , r > 1$ のときは
$\displaystyle \zeta \left(s , \frac{a}{p}\right)$ との
関係は複雑.

よって結局, 
\[ \sum_{a=1}^{p-1}\zeta \left(u , \frac{a}{p}\right)
    \zeta \left(v , \frac{a}{p}\right) ( = f(u , v) ) \]
を考えることに帰着する. 
$Re(u) > 1 , Re(v) > 1$ で

\begin{eqnarray*}
  f(u , v) 
  & = & \sum_{a=1}^{p}\left\{\sum_{m=0}^{\infty}
           \frac{1}{\left(\frac{a}{p}+m\right)^{u+v}} + 
           \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}
           \frac{1}{\left(\frac{a}{p}+m\right)^{u}
           \left(\frac{a}{p}+m+n\right)^{v}}
           \right. \\
  & & \left.{} + \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}
         \frac{1}{\left(\frac{a}{p}+n\right)^{v}
         \left(\frac{a}{p}+m+n\right)^{u}}
         \right\} \\
  & = & \sum_{a=1}^{p}\left\{\zeta \left(u+v , \frac{a}{p}\right)
         + \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}
         + \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} \right\} \\
  & = & p^{u+v}\zeta (u+v) + \sum_{a=1}^{p}
         \left\{I(a , u , v) + I(a , v , u)\right\}
\end{eqnarray*} 
\begin{eqnarray*}
  \sum_{a=1}^{p}\Gamma (u)\Gamma (v)I(a , u , v) 
  & = & \sum_{a=1}^{p}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
         x^{u-1}y^{v-1}\sum_{m=0}^{\infty}
        \sum_{n=1}^{\infty}p^{u+v}e^{-(a + mp)x}
         e^{-(a + (m+n)p)y} dxdy \\
  & = & p^{u+v}\sum_{a=1}^{p}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
          x^{u-1}y^{v-1}\frac{e^{-a(x+y)}}{1-e^{-p(x+y)}}
          \cdot \frac{1}{e^{py}-1} dxdy \\
  & = & p^{u+v}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
           x^{u-1}y^{v-1}\left(
           \sum_{a=1}^{p}e^{-a(x+y)}\right)\cdot 
           \frac{dxdy}{(1-e^{-p(x+y)})(e^{py}-1)} \\
  \sum_{a=1}^{p}e^{-a(x+y)}
  & = & \frac{e^{-(x+y)}(1-e^{-p(x+y)})}{1-e^{-(x+y)}} \quad より \\
  & = & p^{u+v}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}
        x^{u-1}y^{v-1} \cdot \frac{1}{e^{x+y}-1} \cdot
        \frac{1}{e^{py}-1} dxdy 
\end{eqnarray*}

\end{Rem}

$py$ を $y$ とおくと,     

\begin{eqnarray*}
 & = & p^{u}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{v-1}}{e^{y}-1}
       \int_{0}^{\infty}\frac{x^{u-1}}{e^{x+(y/p)}} dxdy \\
 & = & p^{u}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{v-1}}{e^{y}-1}
       \int_{0}^{\infty}x^{u-1}h\left(x + \frac{y}{p}\right) dxdy \\
 & & {}+ p\Gamma (u)\Gamma (1-u)\Gamma (u+v-1)\zeta (u+v-1) 
\end{eqnarray*}

for \hspace{2mm}
$0 < Re(u) < 1 \,,\, Re(v) > 1 \,,\, Re(u+v) > 2$

Taylor 展開
\[
  h\left(x + \frac{y}{p}\right) =
  \sum_{n=0}^{N}\frac{h^{(n)}(x)}{n!}\left(\frac{y}{p}\right)
  + R_{N}(x , y)
\]
を代入することで, $p$ の負巾による漸近展開ができる.
(Katsurada - Matsumoto)


\begin{Problem}
\[
 \sum_{a=1}^{p}\zeta \left(u_{1},\frac{a}{p}\right) \cdots
 \zeta \left(u_{r},\frac{a}{p}\right)
\]
の $p$ についての漸近展開は？

\[
 \zeta (u_{1} , \cdots , u_{r} ; \alpha) :=
 \sum_{0 \ge m_{1} < \cdots < m_{r}}^{}
 \frac{1}{(\alpha + m_{1})^{s_{1}}(\alpha + m_{2})^{s_{2}}
 \cdots (\alpha + m_{r})^{s_{r}}}
\]
とおいて,
\[
 \sum_{a=1}^{p}\zeta (u_{1} , \cdots , u_{r} ; \frac{a}{p})
\]
の $p$ についての漸近展開は？
\end{Problem}

\begin{Rem}
Singular Shintani zetaの解析接続の問題に関しては、最近、進展があった。集中講義の直後、秋山茂樹氏が、Eular-Maclaurin和公式を使ったZagier多重ゼータの解析接続を証明した。この方向に関しては[AET], [AT] などを見て欲しい。それ以外にも秋山、石川氏による研究
[AI] がある。また、荒川氏によれば[AK]の方法を見直すことにより、解析接続は証明できるとのことである。さらに、最近別の方法による[Z]という論文も出ている。但し、これらは負の整数点での値を目的にしたものであり、このセクションで述べたような平均値理論への応用ができるかどうかは定かではない。
\end{Rem}
\begin{thebibliography}{9999}
\bibitem [Kan], 金子昌信, 多重ゼータ値と多重ベルヌーイ数, 都立大学数学教室セミナー報告, 1997.
\bibitem [Kur], 黒川信重, 多重サイン関数について（東大における講義, 小山信也氏によるノート）,1991.
\bibitem [AK], T. Arakawa and M. Kaneko, Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related functions, Nagoya Math J., 153(1999), 189-209.
\bibitem [AET], S. Akiyama, S. Egami, and Y. Tanigewa, An analytic continuation of multiple zeta functions and their values at non-positive integers, preprint
\bibitem[AI] S.Akiyama \& H. Ishikawa, On analitic continuation for 
multiple L-functions and related zeta-functions, preprint
\bibitem [AT], S. Akiyama and Y. Tanigawa, Multiple zeta values at non-positive integers, preprint
\bibitem [Zh], J. Zhao, Analytic continuation of multiple zeta functions, to appear in Proc. Amer. Math. Soc.
\end{thebibliography}


\end{document}
