多重ゼータ関数の初等理論

江上繁樹

1 Introduction

この講義録は 1998 年 11 月に新潟大学で行った講義を新潟大学 4 年小池知裕氏がまとめてくださったものである。簡単に内容を説明すると、 section 1 でリーマンゼータ関数、フルビッツゼータ関数、ディリクレ L 関数の解析接続や特殊値に関するよく知られた初等的結果を結果を説明し、 section 2 では Barnes の多重ゼータ関数の解析的性質を解説した。この部分は Barnes の古い論文のかなりの部分をカバーしていると思う。 section 3 では新谷氏による Barnes ゼータの拡張と、私の研究も交えて Dedekind 和や実二次体のクロネッカー極限公式など数論的応用についてのべ、最後の section 4 では、最近話題になっている Zagier の多重ゼータ関数が、新谷ゼータの singular 版と考えられることを述べ、フルビッツゼータ関数の二乗平均との関係について述べた。一応、解析的整数論の入門者を想定して話したが、ほとんどの部分は初歩的な複素解析（留数計算ができる程度）だけの知識で理解できると思う。

多重ゼータ関数についての講義録は Barnes ゼータ関数については黒川 [Kur],Zagier ゼータ関数については金子 [Kan] などがすでにあるが、それらに比べて初等的な部分について述べたので、初等理論と断った。なお、多重ゼータ関数という用語については文献によって異なるので注意して欲しい。

最後にこの講義をするよう薦めてくださった秋山茂樹氏、わかりにくい講義をまとめ、 TeX で入力しててくださった小池知裕氏、講義を遠くから聴きにきてくださり、講義中有益な注意をくださった、谷川好男氏、松本耕二氏、木内功氏、野田工氏に深く感謝したい。

2 Riemann zeta, Hurwitz zeta, and Dirichlet L

(Zeta 関数)

s を複素数とし、

f(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n^{s}} (Re(s) > C)

のような形の無限級数のことを Dirichlet 級数という．また、特に Re(s) > 1 において絶対かつ広義一様収束する級数

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} (Re(s) > 1)

を Riemann zeta 関数と呼ぶ．

(Riemann zeta 関数の性質)

1. 全平面に有理型に解析接続される． s = 1 の１位の極（留数＝ 1）を除いて正則．

2. オイラー積（ Euler product ）

ζ(s) = ∏_{p} (1 − p^{−s})^{−1}. (Re(s) > 1)

を持つ．

3. Λ(s) = π^{− \frac{s}{2}} Γ (\frac{s}{2}) ζ(s).とおくと

Λ(1 − s) = Λ(s).

が成立する．

4. 負整数点での値が良く分かる有理数．そこで、 1,4 の性質を持つより一般的な zeta 関数を定義する． Definition 2. 1 (Hurwitz zeta 関数) α > 0 とし、無限級数

ζ(s, α) = ∑_{n=0}^{∞} (n + α)^{−s}.

を Hurwitz zeta 関数という．特に、 ζ(s, 1) = ζ(s) Theorem 2. 2 ζ(s, α) は全平面に有理型に解析接続され、 s = 1 での１位の極（留数＝１）を除いて正則．

proof

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−x}dx. (Re(s) > 1)

より

Γ(s)ζ(s, α) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1} ∑_{n=0}^{∞} (n + α)^{−s}e^{−x}dx.
= ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{∞} (\frac{x}{n + α})^{s} e^{−x} \frac{dx}{x}.

y = \frac{x}{x+α}とおく．

= ∑_{n=0}^{∞} ∫_{0}^{∞} y^{s}e^{−y(n+α)} \frac{dy}{y} .
= ∫_{0}^{∞} y^{s}(∑_{n=0}^{∞} e^{−yn})e^{−yα} \frac{dy}{y} .
= ∫_{0}^{∞} y^{s−1} \frac{e^{−αy}}{1 − e^{−y}} dy.

ここで、

I_{1}(s) = ∫_{0}^{1} y^{s−1} \frac{e^{−αy}}{1 − e^{−y}} dy.

I_{∞}(s) = ∫_{1}^{∞} y^{s−1} \frac{e^{−αy}}{1 − e^{−y}} dy.

とおく． I_{∞}(s); 全平面で絶対かつ広義一様収束する． (s の整関数) そこで、今

I_{1}(s) = ∫_{0}^{1} y^{s−1} \frac{e^{−αy}}{1 − e^{−y}} dy.

を考える． (e^{−αy})/(1 − e^{−y}) を y = 0 でローラン展開すると

= \frac{1 − αy ⋯}{y + ⋯} = \frac{1}{y} + ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n+1}(α)}{(n + 1)!} · (−1)^{n+1}y^{n}.
= \frac{1}{y} + ∑_{n=0}^{N} \frac{B_{n+1}(α)}{(n + 1)!} · (−1)^{n+1}y^{n} + R_{N}(y).

このとき、

R_{N}(y) = O(y^{N+1}) as y → ∞

I_{1}(s) = ∫_{0}^{1} y^{s−2}dy + ∑_{n=0}^{N} \frac{B_{n+1}(α)}{(n + 1)!} · (−1)^{n+1} ∫_{0}^{1} y^{s+n−1}dy + ∫_{0}^{1} y^{s−1}R_{N}(y)dy.

= \frac{1}{s − 1} + ∑_{n=0}^{N} \frac{(−1)^{n+1}B_{n+1}(α)}{(n + 1)!} · \frac{1}{s + n} + H_{N}(s)

H_{N}(s) : Re(s) > −n − 1 で正則．よって

ζ(s, α) = \frac{1}{Γ(s)}(I_{∞}(s) + H_{N}(s) + \frac{1}{s − 1} + ∑_{n=0}^{N} C_{n}(α) · \frac{1}{s + n})

Nは任意なので全平面へ有利型に解析接続される．

= \frac{1}{Γ(s)} · \frac{1}{s − 1} + ∑_{n=0}^{N} \frac{C_{n}(α)}{Γ(s)(s + n)} + \frac{1}{Γ(s)}(H_{N}(s) + I_{∞}(s))

1/Γ(s) : Entire Γ(s) は s = 0, −1, −2, ⋯で１位の極を持つ． s = 1 での（留数＝１）１位の極を除いて正則．

Corollary 1

ζ(−n, α) , n = 0, 1, 2, ⋯

= lim_{s→−n} \frac{C_{n}(α)}{Γ(s)(s + n)} = −\frac{B_{n+1}(α)}{n + 1}.

• Bernoulli 数、 Bernoulli plynominal 二変数関数 G(t, x) を

G(t, x) = \frac{te^{tx}}{e^{t} − 1}

と定義し、

G(t) = G(t, 0) = \frac{t}{e^{t} − 1}

とおくこのとき、

G(t, x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n}(x)}{n!}t^{n}

G(t) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n}}{n!} x^{n}

と展開したときの B_{n}(x) , B_{n} をそれぞれ、 Bernoulli polynominal , Bernoulli 数とよぶ

問題 1 次を示せ． 1. B_{n} ∈ Q , B_{2n+1} = 0 (n = 0, 1, 2, ⋯)

2. B_{n}(x) ∈ Q[x] , deg B_{n}(x) = n.

3. B_{n}(x + 1) − B_{n}(x) = nx^{n−1}.

4. \frac{d}{dx}B_{n}(x) = nB_{n−1}(x). n ≥ 1

5. ∑_{k=1}^{N} k^{n} = \frac{B_{n+1}(N + 1) − B_{n+1}(1)}{n + 1}.

Another proof of Theorem 2. 2 (Hankel 積分)

∫_{0}^{∞} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx において x^{s−1}を C \ \{ 0 \} での多価関数と考える正の実軸上で通常の値をとる

このとき、

x^{s−1} = \frac{1}{x}e^{s log x}

ただし、偏角は 0 ≤ arg x < 2π

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} C(ε) K(ε)

ここで、 C(ε) に沿う積分

∫_{C(ε)} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx (Re(s) > 1)

を考える

= ∫_{K(ε)} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx + (−1) · ∫_{ε}^{∞} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx + e^{2πis} ∫_{ε}^{∞} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx

ε → 0 とする

= (e^{2πis} − 1) ∫_{0}^{∞} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx

よって

∫_{0}^{∞} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx = \frac{1}{e^{2πis} − 1} ∫_{C(ε)} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx

(ここで、 ∫_{C(ε)} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx は s の整関数)

ζ(s, α) = \frac{1}{Γ(s)(e^{2πis} − 1)} ∫_{C(ε)} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx

ここで、 s = −n (n = 0, 1, 2, ⋯) のとき積分は ∫_{K(ε)} x^{−n−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx となり、留数計算で

値が計算できる

(Dirichlet L-関数)

q ∈ N , χ : (Z/qZ)^{×} ⟶ {z ∈ C | |z| = 1} : homomorphism を指標（character）という

χ(mn mod q) = χ(m mod q) · χ(n mod q)

( \begin{matrix}χ(n) = χ(n mod q) & (n, q) = 1 のとき \\ χ(n) = 0 & (n, q) ≠ 1 のとき \end{matrix} ) として χ(n) を Z 上の関数として見る

また、 χ(n) = 0 or 1 のとき χ を principal character という．このとき、

L(s, χ) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}} (Re(s) > 1)

を Dirichlet L-関数という

L(s, χ) = ∑_{r=1}^{q} ∑_{m=0}^{∞} \frac{χ(r + qm)}{(r + qm)^{s}}
= q^{−s} ∑_{r=1}^{q} χ(r) ∑_{m=0}^{∞} \frac{1}{(\frac{r}{q} + m)^{s}}
= q^{−s} ∑_{r=1}^{q−1} χ(r)ζ (s, \frac{r}{q} )  (1)

Corollary 2 L(s, χ) は全平面に有理型に解析接続され、 s = 1 での１位の極を除いて正則

0 or 負の整数点での値が計算できる．問題 2 χ が principal ではないとき s = 1 での留数は 0 である

L(−n, χ) (n = 0, 1, 2, ⋯) の値を書き下せ Theorem 2. 3 (Re(s) < 0 での級数表示) Re(s) < 0 のとき

ζ(s, α) = \frac{2Γ(1 − s)}{(2π)^{1−s}} · \{sin (\frac{πs}{2}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(2παn)}{n^{1−s}} + cos (\frac{πs}{2}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(2παn)}{n^{1−s}}\}

proof

ζ(s, α) = \frac{1}{Γ(s)(e^{2πis} − 1)} ∫_{C(ε)} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx
= \frac{2πi}{Γ(s)(e^{2πis} − 1)} ∑_{n=−∞,n≠0}^{∞} Res_{x=2nπi} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}}
= \frac{2πi}{Γ(s)(e^{2πis} − 1)} ∑_{n=−∞}^{∞}(2nπ)^{s−1}e^{−2nπα}

問題 3 • i^{s} = e^{\frac{πis}{2}} , (−i)^{s} = e^{\frac{3πis}{2}}

• Γ(s)Γ(1 − s) = \frac{π}{sin πs}

を用いて Theorem 2. 3 を示せ． Corollary 3 (Riemann Zeta の関数等式) Λ(s) = π^{− \frac{s}{2}} Γ(\frac{s}{2})ζ(s).とおいたとき、

Λ(1 − s) = Λ(s).

が成立．

proof

ζ(s) = ζ(s, 1) = \frac{2Γ(1 − s)}{(2π)^{1−s}} · \{sin (\frac{πs}{2}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{1−s}} \} (Re(s) < 0)

ここで、

\frac{sin\frac{πs}{2}}{π} = \frac{1}{Γ(\frac{s}{2})Γ(1 − \frac{s}{2})}

Γ (\frac{1}{2} − \frac{s}{2}) Γ (\frac{1}{2} − \frac{s}{2} + \frac{1}{2}) = Γ(1 − s) · \frac{2\sqrt{π}}{2^{2· \frac{1−s}{2}}} = 2^{s}·\sqrt{π}Γ(1 − s) ⋯ (∗)

故に

sin(\frac{πs}{2}) = \frac{π}{Γ(\frac{s}{2})Γ(1 − \frac{s}{2})} = \frac{π}{Γ(\frac{s}{2})} · \frac{Γ (\frac{1}{2} − \frac{s}{2})}{2^{s}\sqrt{π}Γ(1 − s)}

より，

ζ(1 − s) × \frac{π^{− \frac{1−s}{2}} Γ(\frac{1−s}{2})}{π^{− \frac{s}{2}} Γ(\frac{s}{2})} = ζ(s)

となる．ここで、 (∗) において Legendre の関係式

Γ(s)Γ (s + \frac{1}{2}) = 2^{1−2s}\sqrt{π}Γ(2s)

を用いた．注意 q ∈ N

ζ_{q}(s) = ( ζ(s, \frac{1}{q}) ; ⋮ ; ζ(s, \frac{q}{q}) )

とおくと，

ζ_{q}(s) = M(s) × ζ_{q}(1 − s)

と書ける．以下、この section では、 p:素数 χ:mod p の non-principal charactor と仮定する。一般の modulo の場合も chi が”primitive”なら同様である

Definition 2. 4 (Gauss 和) (a, b) = 1 とする。

G(χ, a) = ∑_{kmodp}′χ(k) exp (\frac{2πiak}{p} )

を、 Gauss 和という。但し、 ∑′は (Z/pZ)^{×} の可逆元にわたる和とする。

ak = k′とかくと、

G(χ, a) = ∑_{k′modp}′χ(a^{−1}k′) exp (\frac{2πik′}{p} )
= χ(a)^{−1} ∑ χ(k′) exp (\frac{2πik′}{p} )
= \overline{χ(a)}G(χ, 1)

以下、 G(χ, 1) を G(χ) と書く。 Remark 1

|G(χ)|^{2} = p (|G(χ)| = p^{\frac{1}{2}} )

proof

G(χ)\overline{G(χ)} = ∑_{a}′∑_{a′}′χ(a)\overline{χ(a′)} exp (\frac{2πi(a − a′)}{p}) (a′ = ab とする)
= ∑_{a}′∑_{b}′χ(a)\overline{χ(a)}\overline{χ(b)} exp (\frac{2πia(1 − b)}{p})
= ∑_{b} \overline{χ(b)} ∑_{a} exp (\frac{2πia(1 − b)}{p})

ここで

∑_{a}′ = \{ \begin{matrix}p − 1 & (b = 1) \\ −1 & (b ≠ 1) \end{matrix}

したがって、

(上式) = (p − 1) − ∑_{b≠0,1}′\overline{χ(b)}(−1)
= p − 1 − \{ ∑_{b∈Z/pZ}′\overline{χ(b)} − 1\}
= p

Remark 2

G(χ(a)) = ∑_{a=1}^{p−1} cos \frac{2πa}{p} + i ∑_{a=1}^{p−1} χ(a) sin \frac{2πa}{p}
= C(χ) + iS(χ) とおくと
χ(−1) = 1 のとき S(χ) = 0
χ(−1) = −1 のとき C(χ) = 0

proof

∑_{a=1}^{p−1} を\frac{p}{2}で半分に分けて考えると分かる。

よって

χ(−1) = 1 (χ : even) ⟹ G(χ) = C(χ)
χ(−1) = −1 (χ : odd) ⟹ G(χ) = iS(χ)

p.6 Theorem 2. 3 において Corollary 4 (Dirichlet L 関数の関数等式)

ξ(s, χ) = \{ \begin{matrix}(\frac{π}{p} )^{− \frac{s}{2}} Γ(\frac{s}{2})L(s, χ) & χ : even \\ (\frac{π}{p} )^{− \frac{s}{2}} Γ(\frac{s+1}{2})L(s, χ) & χ : odd \end{matrix}
⟹  ξ(1 − s, χ) = W (χ)ξ(s, \overline{χ})

ただし、 W (x) : χのみによる絶対値 1 の複素数 proof Theorem 2. 3 でα = \frac{a}{p} (a = 1, ⋯, p − 1) とおく

ζ(s, \frac{a}{p}) = \frac{2Γ(1 − s)}{(2π)^{1−s}} \{sin(\frac{πs}{2}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(2π \frac{a}{p})}{n^{1−s}} + cos(\frac{πs}{2}) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(2π \frac{a}{p})}{n^{1−s}}\}
∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(2π \frac{a}{p})}{n^{1−s}} = ∑_{b=1}^{p} cos (\frac{2πabi}{p}) ∑_{m=0}^{∞} \frac{1}{(b + pm)^{1−s}}
= p^{s−1} ∑_{b=1}^{p} cos (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p})

そこで、

L(s, χ) = p^{−s} ∑_{(} a)χ(a)ζ(s, \frac{b}{p})
= p^{−s} ∑_{a} χ(a)\frac{2Γ(1 − s)}{(2π)^{1−s}} \{sin(\frac{πs}{2}) ∑_{b=1}^{p} cos (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p})

+ cos(\frac{πs}{2}) ∑_{b=1}^{p} sin (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p})\}

= p^{−1} \frac{2Γ(1 − s)}{(2π)^{1−s}} \{sin(\frac{πs}{2}) ∑_{a} χ(a) ∑_{b=1}^{p} cos (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p})

+ cos(\frac{πs}{2}) ∑_{a} χ(a) ∑_{b=1}^{p} sin (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p})\}

∑_{n=1}^{p−1} χ(a) ∑_{b=1}^{p} cos (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p}) = ∑_{b=1}^{p} ζ(1 − s, \frac{b}{p}) ∑_{b=1}^{p−1} χ(a) cos (\frac{2πabi}{p})

∑_{b=1}^{p−1} χ(a) cos (\frac{2πabi}{p}) = \{ \begin{matrix}0 & (b = 0) \\ \overline{χ(a)}c(χ) & (b ≠ 0) \end{matrix}

より

∑_{n=1}^{p−1} χ(a) ∑_{b=1}^{p} cos (\frac{2πabi}{p}) ζ(1 − s, \frac{b}{p}) = C(χ) ∑ \overline{χ(b)}ζ(1 − b, \frac{b}{p})
= C(χ)p^{1−s}L(1 − s, \overline{χ})

を用いると

L(x, χ) = \frac{2p^{−s}Γ(1 − s)}{(2π)^{1−s}} \{sin(\frac{πs}{2})C(χ)L(1 − s, \overline{χ}) + cos(\frac{πs}{2})S(χ)L(1 − s, \overline{χ})\}

= \{ \begin{matrix}\frac{2p^{−s}}{(2π)^{1−s}} Γ(1 − s) sin \frac{πs}{2}C(χ)L(1 − s, \overline{χ}) & χ : even \\ \frac{2p^{−s}}{(2π)^{1−s}} Γ(1 − s) cos \frac{πs}{2}S(χ)L(1 − s, \overline{χ}) & χ : odd \end{matrix}

Γの反転、２倍公式から、 Cor を得るとくに

W (χ) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{p}}C(χ) & χ : even \\ \frac{1}{\sqrt{p}}S(χ) & χ : odd \end{matrix}

Theorem 2. 5 (Lerch)

ζ′(0, α) = log Γ(α) + ζ′(0) (ζ′ = −\frac{1}{2} log 2π)

Lemma 2. 1 (Euler 定数)

• lim_{N→∞} (∑_{n=1}^{N} \frac{1}{N} − log N) = γ は存在する (Euler 定数)
• lim_{s→1} (γ(s) − \frac{1}{s − 1}) = γ

proof of Lemma 2. 1

∫_{0}^{∞} e^{−xt}dt = [−\frac{1}{x}e^{−xt}]_{0}^{∞} = \frac{1}{x}
log \frac{B}{A} = ∫_{A}^{B} \frac{1}{x}dx = ∫_{0}^{∞} ∫_{A}^{B} e^{−xt}dxdt = ∫_{0}^{∞} \frac{1}{t}(e^{−At} − e^{Bt})dt

そこで

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = ∫_{0}^{∞} ∑_{n=1}^{N} e^{nt}dt = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−x} − e^{−(N+1)x}}{1 − e^{−x}} dx = lim_{s→0} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{s}(e^{−x} − e^{−(N+1)x})}{1 − e^{−x}}dx

一方

log N = ∫_{0}^{∞} \frac{1}{y}(e^{−y} − e^{Ny})dy

よって

lim_{N→∞}(∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} − log N) = lim_{N→∞}( ∑_{n=1}^{N−1} \frac{1}{n} − log N)
= lim_{N→∞} ∫_{0}^{∞}(e^{−x} − e^{−Nx}) (\frac{1}{1 − e^{−x}} − \frac{1}{x}) dx
= ∫_{0}^{∞} e^{−x} (\frac{1}{1 − e^{−x}} − \frac{1}{x}) dx

となり、これを γ と書く。つまり

γ = ∫_{0}^{∞} e^{−x} (\frac{1}{1 − e^{−x}} − \frac{1}{x}) dx

次に、

I(s) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−x} (\frac{1}{1 − e^{−x}} − \frac{1}{x}) dx
= ∫_{0}^{∞} x^{s−1} \frac{1}{e^{x} − 1}dx − ∫_{0}^{∞} x^{s−2}e^{−x}dx
= Γ(s)ζ(s) − Γ(s − 1)
= Γ(s)(ζ(s) − \frac{1}{s − 1})

s → 1 のとき I(s) → γ なので

lim_{s→1}(ζ(s) − \frac{1}{s − 1}) = lim_{s→1} \frac{I(s)}{Γ(s)} = γ

proof of Theorem 2. 5

\frac{1}{Γ(z)} = ze^{yz}Π_{n=1}^{∞}(1 + \frac{z}{n})e^{\frac{z}{n}} を用いる

両辺の対数をとると (α > 0)

− log Γ(α) = log α + γα + ∑_{n=1}^{∞} \{log(1 + \frac{α}{n}) − \frac{α}{n}\}

log(1 + \frac{α}{n}) = log(n + α) − log n
= ∫_{0}^{∞} \frac{1}{y}(e^{−ny} − e^{−(n+α)y})dy

I(s) = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} y^{s} \{\frac{1}{y}(e^{−ny} − e^{−(n+α)y}) − αe^{−ny}\} dy
= Γ(s)ζ(s) − Γ(s)ζ(s, α + 1) − αΓ(s + 1)ζ(s + 1)
for Res > 1

s → 0 のとき展開

\{ \begin{matrix}Γ(s) & = & \frac{1}{s} − γ + ⋯ \\ Γ(s + 1) & = & 1 − γs + ⋯ \\ ζ(s) & = & ζ(0) + ζ′(0)s + ⋯ \\ ζ(s, α + 1) & = & ζ(0, α + 1) + ζ′(0, α + 1)s + ⋯ \end{matrix}

\{ \begin{matrix}ζ(0) & = & −\frac{1}{2} \\ ζ(0, α) & = & \frac{1}{2} − α \\ ζ(0, α + 1) & = & \frac{1}{2} − α \end{matrix} 等用いると

J(s) → ζ′(0, α) = log Γ(α) + ζ′(0)

注) ζ′(0) (= −\frac{1}{2} log(2t)) は、関数等式、および\frac{Γ′(\frac{1}{2})}{Γ(\frac{1}{2})} = − log 4 − γ からでる Corollary 5 (L(0.χ) , L′(0, χ) の値) χ : mod p , non principal

L(s, χ) = p^{−s} ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)ζ(s, \frac{a}{p})
L(0, χ) = ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)(\frac{1}{2} − \frac{a}{p}) = −\frac{1}{p} ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)a
L′(0, χ) = ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)ζ′(0, \frac{a}{p}) − log p ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)ζ(0, \frac{a}{p})
= ∑_{a=1}^{p−1} χ(a) log Γ(\frac{a}{p}) − \frac{log p}{p} ∑_{a=1}^{p−1} χ(a)a

χ : even のとき、 χ(−a) = +χ(a) したがって、

∑_{a=1}^{p−1} χ(a)a = ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(a)a + ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(p − a)(p − a)

= ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(a)a + p ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(a) − ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(a)a
= p · \frac{1}{2} ∑_{a=1}^{p−1} χ(a) = 0

よって、 χ : even なら、

L′(0, χ) = ∑_{a=1}^{p−1} χ(a) log Γ (\frac{a}{p})  (2)

= ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(a) \{log (Γ (\frac{a}{p}) Γ (1 − \frac{a}{p}))\}

= − ∑_{a=1}^{\frac{p−1}{2}} χ(a) log (sin \frac{πa}{p})  (3)

log (Γ (\frac{a}{p}) Γ (1 − \frac{a}{p})) = log \frac{π}{sin \frac{πa}{p}} = log π − log (sin \frac{πa}{p})  (4)

関数等式から

L(1, χ) = \{ \begin{matrix}L(0, χ) & χ : odd \\ L′(0, χ) & χ : even \end{matrix}

L(1, χ) は、類数計算、 Abel 拡大の構成に重要。それが、上の表示によって、 χ や sin によってよくわかる

多重ガンマの”Lerch の公式” （後述) によって、代数体上の L について、 (2) の表示は得られる。 (Shintani) しかし、多重ガンマには、 (4) に担当する公式がないので、 sin を用いた (3) の形の表示を出す事はできない。^{1}

3 Barnes の多重 Zeta 関数

Definition 3. 1 (Barnes の多重ゼータ関数)a, ω_{1}, ⋯, ω_{r} > 0 Ω = (ω_{1}, ⋯, ω_{r}) とする。

ζ(s, a | Ω) = ∑_{m_{1},···,m_{r}=0}^{∞} \frac{1}{(a + m_{1}ω_{1} + ⋯ + m_{r}ω_{r})^{s}}  (5)
= ∑_{m_{1},···,m_{r}=0}^{∞} \frac{1}{(a + ⟨m, Ω⟩)^{s}}

Re s > γ のとき、絶対、広義一様収束する。この ζ(s, a | Ω) を Barnes の多重ゼータ関数という

Theorem 3. 2 (5) は、全 s-平面に有理型に解析接続され、 s = r, r − 1, ⋯, 1 における 1 位の possible pole を除いて、正則。 (s = r は、真の pole で留数は、 ((ω_{1} ⋯ ω_{r})^{−1})) s = r − k(k = 0, 1, 2, ⋯) における留数は、

\frac{C_{r}^{(k)}(a | Ω)}{k!Γ(r − k)}

また、 n ∈ 0 ∪ Nに対し、

ζ_{r}(−n, a | Ω) = (−1)^{n} \frac{C_{r}^{(n+r)}(a | Ω)}{(n + 1) ⋯ (n + r)}

となる. 但し、ここに、 C_{r}^{(m)}(a | Ω) は、 Bernoulli 多項式の一般化で、

g_{r}(z, a | Ω) = \frac{z^{r}e^{−az}}{(1 − e^{−ω_{1}z}) ⋯ (1 − e^{−ω_{r}z})}

の、 z = 0 での展開によって、次のように定める:

= ∑_{m=0}^{∞} \frac{C_{r}^{(m)}(a | Ω)}{m!}z^{m}

Remark 3

C_{r}^{(0)}(a | Ω) = \frac{1}{ω_{1} ⋯ ω_{r}}
C_{r}^{m}(a | Ω) ∈ \frac{1}{ω_{1} ⋯ ω_{r}} Q[a, ω_{1} ⋯ ω_{r}]

proof of Theorem 3. 2

1Hölder、黒川の多重 sin

Γ(s)ζ_{r}(s, a | Ω) = ∑_{m_{1},···m_{r}=0}^{∞} ∫_{0}^{∞} (\frac{x}{a + m_{1}ω_{1} + ⋯ + m_{r}ωr} )^{∞}e^{−x} \frac{dx}{x}
= ∫_{0}^{∞} x^{s−1} \underbrace{∑_{m_{1},···m_{r}=0}^{∞} e^{−(a+m_{1}ω_{1}+···+m_{r}ωr)x}}_{♢} dx  (6)
♢ = e^{−ax} (∑_{m_{1}} e^{−m_{1}ω_{1}x}) ⋯ (∑_{m_{r}} e^{−m_{r}ω_{r}x})
= x^{−r}g_{r}(x, a | Ω)

よって

(6) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1} · x^{−r}g_{r}(x, a | Ω)dx
= ∫_{0}^{1} x^{s−1} · x^{−r}g_{r}(x, a | Ω)dx + ∫_{1}^{∞} x^{s−1} · x^{−r}g_{r}(x, a | Ω)dx
= I_{1}(s) + I_{∞}(s) とおく

ここで

g_{r}(x, a | Ω) = ∑_{m=0}^{N} \frac{C_{r}^{(m)}(a | Ω)}{m!}x^{m} + R_{N+1}(x)
R_{N+1}(x) = O(x^{N+1}) (as x → 0)

により

ζ_{r}(s, a | Ω) = \frac{1}{Γ(s)}(I_{1}(s) + \underbrace{I_{∞}(s)}_{整関数})

I_{1}(s) = ∫_{0}^{1} x^{s−r−1} \{ ∑_{m=0}^{N} \frac{C_{r}^{(m)}(a | Ω)}{m!}x^{m} + R_{N+1}(x)\} dx
= ∑_{m=0}^{N} \frac{C_{r}^{(m)}(a | Ω)}{m!} \frac{1}{s + m − r} + ∫_{0}^{1} x^{s−r−1}R_{N+1}(x)dx
= F_{N}(s) + G_{N}(s) とおくと

G_{N}(s) は、 Re s > r − N − 1 で正則. N は、任意だから、これで、全平面への接続ができた.

\frac{1}{s + m − r} は、 0 ≤ m < r のとき\frac{1}{Γ(s)} の zeros と cancel しないので、 possible pole、 m ≥ r では正則となる. これを計算すると定理に述べた値となる. Remark 4 (Nörlund の高次 Berunoulli 多項式)

ω_{1} ⋯ ω_{r}Z^{r} \frac{e^{az}}{(e^{ω_{1}z} − 1) ⋯ (e^{ω_{r}z} − 1)}

= ∑_{m=0}^{∞} \frac{B_{m}^{(r)}(a | Ω)}{m!}z^{m}

よって

C_{r}^{(m)}(a | Ω) = \frac{1}{ω_{1} ⋯ ω_{r}} B_{m}^{(r)}(a − ω_{1} ⋯ − ω_{r} | Ω)

また、

C_{r}^{(m)}(a_{1}ω_{1} + ⋯ + a_{r}ω_{r} | Ω) = \frac{1}{ω_{1} ⋯ ω_{r}} ∑_{k_{1}···k_{r}≥0} ; k_{1}+···+k_{r}=m

( \begin{matrix}m \\ k_{1} ⋯ k_{r} \end{matrix} ) B_{k_{1}}(a_{1}) ⋯ B_{k_{r}}(a_{r})ω_{1}^{k_{1}} ⋯ ω_{r}^{k_{r}}

Lemma 3. 1 N_{1}, ⋯, N_{r} ∈ N

ζ_{r}(s, a | Ω) = ∑_{m_{1}=0}^{N_{1}−1} ⋯ ∑_{m_{r}=0}^{N_{r}−1} (a + m_{1}ω_{1} + ⋯ + Mrω_{r})^{−s}

+ ∑_{ν=1}^{r}(−1)^{ν−1} ∑_{1≤j_{1}<···<j_{ν}≤r} ζ_{r}(s, a + N_{j_{1}}ω_{j_{1}} + ⋯ + N_{j_{ν}}ω_{j_{ν}} | Ω)

これは

ζ(s, a) = a^{−s} + (a + 1)^{−s} + ⋯ + (a + k + −1)^{−s} + ζ(s, a + k)

の一般化になっている問題 4 Lemma 3. 1 を証明せよ。 Corollary 6 (巾和の公式の一般化)m ∈ N ∪ {0}

∑_{m_{1}=0}^{N_{1}−1} ⋯ ∑_{m_{r}=0}^{N_{r}−1} (a + m_{1}ω_{1} + ⋯ + Mrω_{r})^{n}
= \frac{(−1)^{n}}{(n + 1) ⋯ (n + r)} \{C_{n+r}^{(r)}(a | Ω)

+ ∑_{ν}^{r}(−1)^{ν} ∑_{1≤j_{1}<···<j_{ν}≤r} C_{n+r}^{(r)}(a + N_{j_{1}}ω_{J_{1}} + ⋯ + N_{j_{ν}}ω_{j_{ν}} | Ω)}

これから、 Lerch の公式の一般化を考え、それによって、逆に、「多重ガンマ関数」を定義しよう。

Z(s | Ω) := ∑_{m_{1}···m_{r}=0}^{∞} ; (m_{1},···,m_{r})≠(0,···,0) ⟨\underline{m}, Ω⟩^{−s}
Z(s, a | Ω) := ∑_{m_{1}···m_{r}=0}^{∞} ; \underline{m}≠\underline{0} a + ⟨\underline{m}, Ω⟩^{−s}

Lemma 3. 1 で N_{1} = ⋯ = N_{r} = 1 とおくと、

Z(s | Ω) = ∑_{ν=1}^{r}(−1)^{ν=1} ∑_{1≤j_{1}<···<j_{ν}≤r} ζ_{r}(s, ω_{j_{1}} + ⋯ + ω_{j_{ν}} | Ω)

よって、 z(s | Ω) , z(s, a | Ω) は ζ_{r} と同様の analytic な性質をもつ。 (実際、 Z(s, a | Ω) = ζ_{r}(s, a | Ω) − a^{−s} に他ならない。 )

ρ_{r}(Ω) := exp(−z′(0 | Ω))
lim_{a→+0} Z(s, a | Ω) = z(s | Ω)

したがって

log ρ_{r}(Ω) = − lim_{a→+0}(ζ_{r}′(0, a | Ω) + log a)

以上をまとめると、

Definition 3. 3 (多重ガンマ関数) a > 0 に対し、

Γ_{r}(a | Ω) := ρ_{r} · exp(ζ_{r}′(0, a | Ω))

と定めた Γ_{r}(a | Ω) を、多重ガンマ関数という。

Theorem 3. 4 \frac{1}{Γ_{r}(z | Ω)} は、 zに関し、 order r の整関数に解析接続され、次の Weierstrass 型の積表示をもつ。

\frac{1}{Γ_{r}(z | Ω)} = z exp (∑_{q=1}^{r} \frac{γ_{r,q}}{q!} )

×∏′ \{(1 + \frac{z}{m_{1}ω_{1} + ⋯ + m_{r}ω_{r}} ) exp (∑_{k=1}^{r}(−1)^{k} \frac{z^{k}}{k(m_{1}ω_{1} + ⋯ + m_{r}ω_{r})^{k}} )\}

ここに、 γ_{r,q} : 定数 (一般の Euler 定数)

∏′ = ∏_{m_{1}···m_{r}≥0} ; \underline{m}≠\underline{0} , m_{1}···m_{r}∈Z

proof

F (z) := ∑_{\underline{m}}′ \{log (1 + \frac{z}{⟨\underline{m}, Ω⟩}) + ∑_{k=1}^{r}(−1)^{k} \frac{z^{k}}{k · ⟨\underline{m}, Ω⟩^{k}} \}

各 z ∈ C の近傍で、有限個を除いた残りは、広義一様かつ絶対収束しているので、 order r の整関数となる。

log \frac{B}{A} = ∫_{0}^{∞} \frac{1}{t}(e^{−At} − e^{−Bt})dt
\frac{1}{A^{k}} = \frac{1}{(k − 1)!} ∫_{0}^{∞} t^{k−1}e^{−At}dt

を用いて、 α > 0 に対し

F (a) = ∑_{\underline{m}}′ \{∫_{0}^{∞} \frac{1}{t} \{e^{−⟨\underline{m},Ω⟩t} − e^{−(⟨\underline{m},Ω⟩+a)t}\}

+ ∑_{k=1}^{r}(−1)^{k} \frac{a^{k}}{k!} ∫_{0}^{∞} t^{k−1}e^{−⟨\underline{m},Ω⟩t}dt\}

F (a, s) := ∑_{\underline{m}}′ ∫_{0}^{∞} t^{s−1}e^{−⟨\underline{m},Ω⟩t} (1 − e^{−at} + ∑_{k=1}^{r}(−1)^{−k} \frac{(at)^{k}}{k!} ) dt

これは、 Re s > −1 で正則で、 F (a, 0) = F (a)

F (a, s) = Γ(s)Z(s | Ω) − Z(s, a | Ω) + ∑_{k=1}^{r} \frac{a^{k}}{k!} Γ(s + k)Z(s + k | Ω)
Z(s + k | Ω) = \frac{b_{k}}{s} + c_{k} + ⋯  (k = 1, ⋯, r) で b_{k}, c_{k} を定める
γ_{r,k} := (−1)^{k−1}(k − 1)! \{c_{k} + b_{k} ∑_{ν=1}^{k−1} \frac{1}{ν} \}

とおくと

Γ(s + k) = (k − 1)! \{1 + s (∑_{ν=1}^{k−1} \frac{1}{ν} − γ)\}

を用いれば、

F (a, 0) = z′(0 | Ω) − z′(0, a | Ω) + ∑_{k=1}^{r} \frac{(−1)^{k}}{k} a^{k} \{c_{k} + b_{k} ∑_{ν=1}^{k−1} \frac{1}{ν} \}
= − log ρ_{r}(Ω) − ζ_{r}′(0, a | Ω) − log a − ∑_{q=1}^{r} \frac{γ_{r,q}}{q!} a^{q}
= − log Γ_{r}(a | Ω) − log a − ∑_{q=1}^{r} \frac{γ_{r,q}}{q!} a^{q}

Remark 5 (Functional determinant) T: n 次正値対称行列とし固有値をλ_{1}, ⋯, λ_{n} > 0 とする.

ζ_{T} (s) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{λ_{k}^{s}}
det T = λ_{1} ⋯ λ_{n}
log det T = log λ_{1} + ⋯ + log λ_{(}n) = −ζ_{T}′(0)

よって、一般に、 “良い” 性質をもつ (関数空間の) 作用素 T の離散スペクトル {λ_{n}}_{n=1,2,···}(λ_{n} > 0) に対し、

ζ_{T} (s) = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}^{−s} : スペクトルゼータ

とおき、 T の”determinant” を det T = e^{−ζ_{T}′(0)} と定めることは、自然である。

例 1 T として、 compact Riemann 多様体上の Laplacian をとると、良い性質をもつ。より一般に、 Λ = {λ_{n}}_{n=1,2,···} : 数列

ζ_{Λ}(s) = ∑_{n=1}^{∞} λ_{n}^{−s}
ζ_{Λ}(s, a) = ∑_{n=1}^{∞}(a + λ_{n})^{−s}
Γ_{Λ}(z) = ∏ (1 + \frac{z}{λ_{n}} ) e^{♭}  (♭ : 収束するようにとる)

に対して、同様の議論ができる。^{2} Definition 3. 5 (多重ポリΓ-関数) ポリ Γ-関数は、

ψ(z) = \frac{d}{dz} log Γ(z) = \frac{Γ′(z)}{Γ(z)}

と定義される。このアナロジーとして、

ψ_{r}^{(s)}(z | Ω) := (\frac{d}{dx})^{s} log Γ_{r}(z | Ω)

と定義される関数を、多重ポリΓ-関数という。 Corollary 7

γ_{r,q} = − lim_{a→+0} ((−1)^{q−1} \frac{(q − 1)!}{a^{k}} + ψ_{r}^{(q)}(a | Ω))

proof

F (a) の式の両辺を q 回微分 (F (a) : a において r + 1 位の zero をもつ) Theorem 3. 6 (差分公式)

ζ_{r}(s, a + ω_{i} | Ω) − ζ_{r}(s, a | Ω) = −ζ_{r−1}(s, a | Ω(i))  (7)

ただし, Ω(i) = (ω_{1}, ⋯, ω_{i−1}, ω_{i+1}, ⋯, ω_{r})

\frac{Γ_{r}(a + ω_{i} | Ω)}{Γ_{r}(a | Ω)} = \frac{ρ_{r−1}(Ω(i))}{Γ_{r−1}(a | Ω(i))}  (8)
ψ_{r}^{(s)}(a + ω_{i} | Ω) − ψ_{r}^{(s)}(a | Ω) = −ψ_{r−1}^{(s)}(a | Ω(i))  (9)
C_{r}^{(m)}(a + ω_{i} | Ω) − C_{r}^{(m)}(a | Ω) = −mC_{r−1}^{(m−1)}(a | Ω)  (10)

proof

(7) は収束領域では明らか. 残り三つは (7) より導ける.

2Voros. Commun. Math. Phys. (1987)

Theorem 3. 7 (乗法公式)

ζ_{r}(s, qa | Ω) = q^{−s} ∑_{l_{1}=0}^{q−1} ⋯ q^{−s} ∑_{l_{r}=0}^{q−1} ζ_{r} (s, a + \frac{1}{q}(l_{1}ω_{1} + ⋯ + l_{r}ω_{r})|Ω)  (11)

(Distribution relation とも言う.) Theorem 3. 8 (変換公式) q_{1}, ⋯, q_{r} ∈ N

ζ_{r} (s, a| (\frac{ω_{1}}{q_{1}} , ⋯, \frac{ω_{r}}{q_{r}} )) = ∑_{l_{1}=0}^{q_{1}−1} ⋯ ∑_{l_{r}=0}^{q_{r}−1} ζ_{r} (s, a + \frac{l_{1}}{q_{1}} + ⋯ + \frac{l_{r}}{q_{r}} |Ω)  (12)

問題 5 Theorem 3. 6 , 3. 7 , 3. 8 を証明せよ. • log Γの Stirling 公式

• log Γ_{r}の Stirling 公式

• ζ_{r}(s, a|Ω) の Re(s) < 0 での級数展開 Theorem 3. 9 (Binet の第一公式) α > 0.

log Γ(α) = (a − \frac{1}{2}) log α + \frac{1}{2} log 2π + ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−αx}}{x} (\frac{1}{e^{x} − 1} − \frac{1}{x} + \frac{1}{2}) dx

proof

Γ(s)ζ(s, α) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1} \frac{e^{−αx}}{1 − e^{−x}} dx  (Re(s) > 1)
= ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−αx} (\frac{1}{1 − e^{−x}} − \frac{1}{x} − \frac{1}{2}) dx

+ ∫_{0}^{∞} x^{s−2}e^{−αx}dx + \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−αx}dx

\frac{1}{1 − e^{−x}} − \frac{1}{x} − \frac{1}{2} = O(x) (as x → 0)

ここで\frac{1}{1 − e^{−x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} − 1} = \frac{1}{e^{x} − 1} + 1 なので、

上式= ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−αx} (\frac{1}{e^{x} − 1} − \frac{1}{x} + \frac{1}{2}) dx + α^{1−s}Γ(s − 1) + \frac{1}{2}α^{−s}Γ(s)

よって

ζ(s, α) = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−αx} (\frac{1}{e^{x} − 1} − \frac{1}{x} + \frac{1}{2}) dx + α^{1−s}(s − 1) + \frac{1}{2}α^{−s}

ここで， s = 0 における展開の s の係数を考える．

右辺= (s + ⋯) \{∫_{0}^{∞} x^{−1}e^{−αx} (\frac{1}{e^{x} − 1} − \frac{1}{x} + \frac{1}{2}) dx + ⋯ \}

+ α(1 − s log α + ⋯) − (1 + s + s^{2} + ⋯) + \frac{1}{2}(1 − s log α + ⋯)

よって，左辺は Lerch の公式を用いて

log \frac{Γ(α)}{\sqrt{2π}} = (α − \frac{1}{2}) log α − α + \underbrace{∫_{0}^{∞} \frac{e^{−αx}}{x} (\frac{1}{e^{x} − 1} − \frac{1}{x} + \frac{1}{2}) dx}_{(⋆)}

(⋆) において αx = y とおくと，

∫_{0}^{∞} \frac{e^{−y}}{y} (\frac{1}{e^{\frac{y}{α}} − 1} − \frac{α}{y} + \frac{1}{2}) dy ⋯ (∗)

h(x) = \frac{1}{e^{x} − 1} − \frac{1}{x} + \frac{1}{2} とおくと， 0 の近傍で

h(x) = ∑_{n=2}^{∞} \frac{B_{n}}{n!} x^{n−1}

と展開される． (∗) に代入して形式的に項別積分すると，

∑_{n=2}^{∞} \frac{B_{n}}{n!} ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−y}}{y} (\frac{y}{α})^{n−1} dy

= ∑_{n=2}^{∞} \frac{B_{n}}{n!} · \frac{1}{α^{n−1}} ∫_{0}^{∞} y^{n−2}e^{−y}
= ∑_{m=1}^{∞} \frac{B_{m+1}}{(m + 1)!} · \frac{1}{α^{m}} Γ(m)
= ∑_{m=1}^{∞} \frac{B_{m+1}}{m(m + 1)α^{m}} ⋯ (⋆)

これは， α → ∞ の時の log Γ(α) の”漸近展開”を与えている．（ただし形式的な議論）ここで、今までの議論を正当化する.

h(x) = ∑_{m=1}^{N} \frac{B_{m+1}}{(m + 1)!} (\frac{y}{α})^{m} + \frac{1}{(N + 1)!} (\frac{y}{α})^{N+1} h^{(N+1)}(t) (0 < t < \frac{y}{α})

よって、

∫_{0}^{∞} \frac{e^{−αx}}{x} h(x)dx = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−y}}{y} \{ ∑_{m=1}^{N} \frac{B_{m+1}}{(m + 1)!} (\frac{y}{α})^{m} + \frac{1}{(N + 1)!} (\frac{y}{α})^{N+1} h^{(N+1)}(t)\} dy.

= ∑_{m=1}^{N} \frac{B_{m+1}}{m(m + 1)α^{m}} + \frac{1}{(N + 1)!α^{N+1}} · ∫_{0}^{∞} y^{N}h^{(N+1)}(t)e^{−y}dy.

Lemma 3. 2 ρ > 0. S ⊂ D ⊂ C s.t. ^{∀}z ∈ S, U_{ρ}(z) ⊂ D (但し U_{ρ}(z) = {w ∈ C | |z − w| < ρ} )

h(z) : Dで正則. |h(z)| ≤ C ^{∀}z ∈ D ⇒ ^{∀}N ∈ N, ^{∃}C_{N}, s.t. |h^{(N)}(z)| ≤ C_{N} for^{∀}z ∈ S proof

h^{(N)}(z) = \frac{N!}{2πi} ∫_{|z−ζ|=ρ} \frac{h(ζ}{(ζ − z)^{N+1}} dζ
≤ \frac{N!}{ρ^{N}} |h(z)| ≤ \frac{N!}{ρ^{N}} C.

今, S = [0, ∞) D = D_{ρ} = {z | |z| < ρ} ∪ {z | Re(z) > 0, |Im(z)| < ρ} ととる.

• h(z) は D_{ρ}で有界.(easy) よって, Lemma 3. 2 により

∫_{0}^{∞} y^{N}h^{(N+1)}(t)e^{−y}dy

は α に無関係に有界なので， (⋆) の展開は，漸近展開の意味で成立しているが分かる．即ち

log Γ(α) = (α − \frac{1}{2}) log α − α + \frac{1}{2} log 2π ∑_{m=1}^{∞} \frac{B_{m+1}}{m(m + 1)α^{m}}

これを log Γ(α) に関する Stirling の公式という．

g(x) = \frac{1}{(1 − e^{−ω_{1}x}) ⋯ (1 − e^{−ω_{r}x})} = \frac{1}{x^{r}} ∑_{k=0}^{∞} \frac{C_{k}^{(r)}(Ω)}{k!}x^{k}

h(x|Ω) := g(x) − \frac{1}{x^{r}} ∑_{k=0}^{r} \frac{C_{k}^{(r)}(Ω)}{k!}x^{k}

Theorem 3. 10 (multiple analogue of Binet)

log Γ_{r}(a|Ω) = ∑_{k=0}^{r−1} \frac{C_{k}^{(r)}(Ω)}{k!}a^{r−k}(A_{r−k} log a + B_{r−k})

− \frac{C_{r}^{(r)}(Ω)}{r!} log a + log ρ_{r}(Ω)

+ ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax}}{x} h_{r}(x|Ω)dx

但し，

A_{μ} = \frac{(−1)^{μ+1}}{μ!} , B_{μ} = \frac{(−1)^{μ+1}}{μ!} (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{μ})

proof

Γ(s)ζ_{r}(s, a|Ω) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−ax}h_{r}(x|Ω)dx + ∑_{k=0}^{r} \frac{C_{k}^{(r)}(Ω)}{k!}a^{r−k−s}Γ(s + k − r)

ここで k を r − k と置き換える．

ζ_{r}(s, a|Ω) = \frac{1}{Γ(s)} ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−ax}h_{r}(x|Ω)dx
+ ∑_{k=1}^{r} \frac{C_{r−k}^{(r)}(Ω)}{r − k!}a^{k−s} \frac{1}{(s − 1) ⋯ (s − k)} + \frac{C_{r}^{(r)}(Ω)}{r!}a^{−s}.

この両辺の s = 0 での， s の項を比較すればよい．

Remark 6 h_{r}(x|Ω) = O(x) なので，上の積分は Re(s) > −1 で収束している． h_{r}(z|Ω) は， S = [0, ∞) , D_{ρ} に関して Lemma 3. 2 の仮定をみたす．

Corollary 8 (multiple Stirling) (due to Barnes)

log Γ_{r}(a|Ω) = ∑_{k=0}^{r−1} \frac{C_{k}^{(r)}(Ω)}{k!}a^{r−k}(A_{r−k} log a + B_{r−k})
− \frac{C_{r}^{(r)}(Ω)}{r!} log a + log ρ_{r}(Ω)
+ ∑_{m=1}^{M} \frac{C_{r+m}^{(r)}(Ω)}{m(m + 1) ⋯ (m + r)} · \frac{1}{a^{m}} + O(a^{−M−1})

拡張

(ω_{1}, ⋯, ω_{r}) = (ξ_{1}, ⋯, ξ_{p}, η_{1}, ⋯, η_{q}) と分ける． (p + q = r, p ≥ 1) さらに， (1 − e^{−ξ_{1}x}) ⋯ (1 − e^{−ξ_{p}x}) についてだけ展開することを考えると，

Γ(s)ζ_{r}(s, a|Ω) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−ax}g_{q}(x|η)g_{p}(x|ξ)dx

但し，

g_{p}(x|ξ) = \frac{1}{1 − e^{−ξ_{1}x}} ⋯ \frac{1}{1 − e^{−ξ_{p}x}}

h_{p}^{r}(x|ξ) = g_{p}(x|ξ) − \frac{1}{x^{p}} ∑_{k=0}^{r} \frac{C_{k}^{(p)}(ξ)}{k!}x^{k} ⋯ (♮)

Theorem 3. 11

Γ(s)ζ_{r}(s, a|Ω) = ∫_{0}^{∞} x^{s−1}e^{−ax}g_{q}(x|η)g_{p}(x|ξ)dx

+ ∑_{k=0}^{r} \frac{C_{k}^{(p)}(ξ)}{k!}Γ(s + k − p)ζ_{q}(s + k − p, a|η)

右辺の積分は Re(s) > −1 で収束． proof 上記の (♮) を代入して計算すればよい．

∫_{0}^{∞} x^{s+k−p−1}g_{q}(x|η)dx = Γ(s + k − p)ζ_{q}(s + k − p, a|η)

に注意．

Corollary 9 (Binet の類似)

log \frac{Γ_{r}(a|Ω)}{ρ_{r}(Ω)} = ∫_{0}^{∞} x^{−1}e^{−ax}g_{q}(x|η)h_{p}^{(r)}(x|ξ)dx

+\frac{d}{ds} [∑_{k=0}^{r} \frac{C_{k}^{(p)}(ξ)}{k!} \frac{Γ(s + k − p)}{Γ(s)}ζ_{q}(s + k − p, a|η)]_{s=0}

(研究課題)

log Γ_{r}(a|ξ, η) の ξ ↓ 0 のときの漸近展開を求めよ．

cf. r = 2, p = q = 1 のとき K.Matumoto^{3}

4 数論への応用

Definition 4. 1 (Dedekind 和)

((x)) = \{ \begin{matrix}x − [x] − \frac{1}{2} & x ∉ Z \\ 0 & x ∈ Z \end{matrix}

h ∈ Z , k ∈ N , (h, k) = 1

s(h, k) =^{def} ∑_{jmodk} ((\frac{j}{k} )) ((\frac{jh}{k}))

を Dedekind 和という．

歴史

Dedekind の η - 関数^{4}

η(z) = e^{πiz} ∏_{n=1}^{∞} (1 − e^{2πinz}) z ∈ H

η(z) と η (−\frac{1}{z}) , η(z) と η(z + 1) との間には簡単な関係がある. よって

P SL_{2}(Z) = \{z ↦ \frac{az + b}{cz + d} | a, b, c, d ∈ Z , ad − bc = 1\} /\{±I\}

の元について変換公式がある.

Dedekind が Riemann 全集の注（ただし 10 ページ以上ある）において s(h, k) を導入してこの変換公式を記述した. s(h, k) の応用

3Math.Proc.Cambridge.Phil.Soc.vol.123 (1998) Theorem 5

4Riemann の論文中にもある.

• 実二次体の L 関数の特殊値

• 平方剰余の相互法則

• 格子点の個数の計算

• Pseudo-radom number の検定 ( in computer science ) s(h, k) の性質

1. h ≡ h′ (mod k) ⇒ s(h, k) ≡ s(h′, k) (mod k)

2. 相互法則

s(h, k) + s(k, h) = \frac{1}{12} (\frac{k}{h} + \frac{1}{hk} + \frac{h}{k})

1,2 を組み合わせると s(h, k) を互除法によって高速に計算できる.

3. h_{1}, h_{2} ∈ Z , (h_{i}, k) = 1

∑_{jmodk} ((\frac{jh_{1}}{k} )) ((\frac{jh_{2}}{k} )) = \frac{1}{4k} ∑_{jmodk,j≢0} cot (\frac{πh_{1}j}{k} ) cot (\frac{πh_{2}j}{k} ) .

さて、 Double Zeta と Dedekind 和を結びつけよう．

ζ(s, (x_{1}, x_{2}), (ω_{1}, ω_{2})) := ∑_{m_{1},m_{2}=0}^{∞}{(x_{1} + m_{1}) ω_{1} + (x_{2} + m_{2}) ω_{2}}^{−s} (Re(s) > 2)
= ζ_{2}(s, x_{1}ω_{1} + x_{2}ω_{2} | (ω_{1}, ω_{2})).
ζ(0, (x_{1}, x_{2}), (ω_{1}, ω_{2})) = \frac{1}{ω_{1}ω_{2}} \{B_{2}(x_{1})ω_{1}^{2} + 2B_{1}(x_{1})B_{1}(x_{2})ω_{1}ω_{2}B_{2}(x_{2})ω_{2}^{2}\}  (13)
(B_{1}(x) = x − \frac{1}{2} , B_{2}(x) = x^{2} − x + \frac{1}{6})  (14)

平面上の格子点の集合 A に対して，

Z_{A}(s, (x_{1}, x_{2}), (ω_{1}, ω_{2})) := ∑_{(m_{1},m_{2})∈A}{(x_{1} + m_{1}) ω_{1} + (x_{2} + m_{2}) ω_{2}}^{−s}

そして， Z_{A}(s, (0, 0), (ω_{1}, ω_{2})) を Z_{A}(s, ω_{1}, ω_{2}) と書くことにする． c, d ∈ N , (c, d) = 1

N^{2} = A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3}
A_{1} = \{(m, n) | n < \frac{d}{c}m\}
A_{2} = \{(m, n) | n > \frac{d}{c}m\}
A_{3} = \{(m, n) | n = \frac{d}{c}m\}
= N · (c, d)

とおく．

∑_{(m,n)∈N^{2}}{m ω_{1} + n ω_{2}}^{−s} = ζ(s, (1, 1), (ω_{1}, ω_{2}))
左辺 = Z_{A_{1}}(s, ω_{1}, ω_{2}) + Z_{A_{2}}(s, ω_{1}, ω_{2}) + Z_{A_{3}}(s, ω_{1}, ω_{2}).

以下，ここから Dedekind 和の相互法則を導く． Lemma 4. 1

Z_{A_{3}}(s, ω_{1}, ω_{2}) = {c ω_{1} + d ω_{2}}^{−s}ζ(s)

proof 自明． Lemma 4. 2 (Shintani)

A_{1} = {(a_{j} + m)(c, d) + (b_{j} + n)(1, 0) | j mod d , m, n ∈ Z_{≥0}}

但し， a_{j} = ⟨\frac{j}{d}⟩ , b_{j} = ⟨−\frac{cj}{d} ⟩ (⟨x⟩ は， x − ⟨x⟩ ∈ Z , 0 < ⟨x⟩ ≤ 1 なるもの.)

proof

F = { u(c, d) + v(1, 0) | 0 < u , v ≤ 1}

とおくと，

A_{1} = ˙ ⋃_{P ∈F ∩ Z^{2}} {P + Z_{≥0}(c, d) + Z_{≥0}(1, 0)} .

ただし， ˙⋃ は disjoint union を表わす．

u(c, d) + v(1, 0) ∈ F ∩ Z^{2} となる条件 つまり， cu + v ∈ Z , du ∈ Z, 0 < u , v ≤ 1 なる (u, v)

即ち、 u については、 u = \frac{j}{d} , j = 1, 2, ⋯, d.

このとき、 v = −\frac{cj}{d} + m, m ∈ Z が 0 < v ≤ 1 となるのは，

v = ⟨−\frac{cj}{d} ⟩ のみ

結局， u = ⟨\frac{j}{d}⟩ , v = ⟨−\frac{cj}{d} ⟩ .

同様にして，

A_{1} = {(a′_{k} + m)(c, d) + (b′_{k} + n)(0, 1) | k mod c , m, n ∈ Z_{≥0}}

但し， a_{j} = ⟨\frac{j}{d}⟩ , b_{j} = ⟨−\frac{cj}{d} ⟩

すると，

Z_{A_{1}}(s, ω_{1}, ω_{2}) = ∑_{jmodd} ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=0}^{∞}{((a_{j} + m)c + (b_{j} + n)) ω_{1} + (a_{j} + m)d ω_{2}}^{−s}
= ∑_{jmodd} ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=0}^{∞}{(b_{j} + n)ω_{1} + (a_{j} + m)(cω_{1} + dω_{2})}^{−s}
= ∑_{jmodd} ζ(s, (b_{j}, a_{j}), (ω_{1}, c ω_{1} + d ω_{2})).

cω_{1} + dω_{2} = Q と書くことにする． Z_{A_{2}}(s, ω_{1}, ω_{2}) についても同様の表示がえられる．これらをあわせると，

Theorem 4. 2

ζ(s, (1, 1), (ω_{1}, ω_{2})) = ∑_{jmodd} ζ (s, (⟨−\frac{cj}{d} ⟩ , ⟨\frac{j}{d}⟩) , (ω_{1}, Q))

+ ∑_{kmodc} ζ (s, (⟨−\frac{dk}{c} ⟩ , ⟨\frac{k}{c} ⟩) , (ω_{2}, Q))

+ Q^{−s}ζ(s)

s = 0 を代入して， (ω_{1}, ω_{2}) についての恒等式と考えると， Dedekind 和の相互法則が導ける．（24 ページの式 (13) を用いる．）

一般化

• s = −n n ∈ N のとき → Carlitz の Dedekind 和の相互法則．

• {x + m ω_{1} + n ω_{2}}^{−s} の和から出発する → 非同次 Dedekind 和の相互法則．

• Multiple Zeta で空間分割して考える． → Halbritten の一般 Dedekind 和．

S.Egami, in ”Analytic Number Theory and Related Topics” World Scientific, 1993 , pp. 17-27

微分して s = 0 とおくと，次の” Double Gamma の相互法則”を得る．

∏_{jmodd} Γ_{2} (⟨−\frac{cj}{d} ⟩ ω_{1} + ⟨\frac{j}{d}⟩ Q|(ω_{1}, Q))

× ∏_{kmodc} Γ_{2} (⟨−\frac{kd}{c}⟩ ω_{2} + ⟨\frac{k}{c} ⟩ Q|(ω_{2}, Q))

= \frac{ρ_{2}(ω_{1}, Q)^{c}ρ_{2}(ω_{2}, Q)^{d}}{ρ_{2}(ω_{1}, ω_{2})} \sqrt{\frac{2πQ}{ω_{1}ω_{2}}}

関数等式 (Re(s) > 0 での級数展開)

ω_{1}, ⋯, ω_{r} ω_{i}/ω_{j} ∉ Q

と仮定する．

ζ_{r}(s, (x_{1}, ⋯, x_{r}), (ω_{1}, ⋯, ω_{r}))
= ζ_{r}(s, x, Ω) := ζ_{r}(s, x_{1}ω_{r} + ⋯ + x_{r}ω_{r} | Ω)

Theorem 4. 3 0 < x_{j} ≤ 1 のとき，実数列 {R_{μ}} , R_{μ} ↑ ∞ (μ → ∞) が存在して， Re(s) < 0 で

ζ_{r}(s, x, Ω) = \frac{1}{Γ(s)(e^{−2πis} − 1)} lim_{μ→∞} ∑_{j=1}^{r} \frac{1}{ω_{j}}

× ∑_{m_{j}≠0,|m_{j}|≤R_{μ}} m_{j}^{s−1} ( ∏_{1≤ν≤r,ν≠j} \frac{e^{−2πix_{μ} \frac{ων}{ω_{j}} m_{j}}}{1} )

×e^{−2πix_{j}m_{j}}

Remark 7 α_{1}, ⋯, α_{r−1} (^{∀}α_{j} ∉ Q) に対し,

H(s, αx) = ∑_{m∈Z,m≠0} m_{s−1} · \frac{e^{−2πi(α_{1}x_{1}+···+α_{r−1}x_{r−1})m}}{(1 − e^{−2πiα_{1}m}) ⋯ (1 − e^{−2πiα_{r−1}m})}
\{α_{1}, ⋯, α_{r−1}\} = \{\frac{ω_{j}}{ω_{i}} | j = 1, 2, ⋯\}

1, α_{1}, ⋯, α_{r−1} が Q 上１次独立とすると, Re(s) ≪ 0 で絶対収束が示せる. by some 同時近似定理（algebraic numbers） Roth , Schmidt , etc.

proof

Γ(s)ζ(s, x, Ω) = ∫_{0}^{∞} t^{s−1} ∏_{i=1}^{r} \frac{e^{−x_{i}ω_{i}t}}{1 − e^{−ω_{i}t}} dt
= ∫_{ε} t^{s−1} ∏_{i=1}^{r} \frac{e^{−x_{i}ω_{i}t}}{1 − e^{−ω_{i}t}} dt

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} R_{μ}

ε → ∞ として留数をひろう. このとき, 半径 ε の円が singularity を通らないように, 半径 R_{μ} , R_{μ} → ∞ を定める.

r = 2 のとき,

H(s, α (x_{1}, x_{2})) = ∑_{m∈Z,m≠0} m^{s−1} · \frac{e^{−2πim(αx_{1}+x_{2})}}{1 − e^{−2πimα}}

Arakawa の generalized η - 関数α ∈ \overline{Q} なら Re(s) < 0 で絶対収束. (by , Roth の定理 , 一様分布の議論) α が２次無理数なら, s について, C 上有利型に延長さ

れる.

5

一般には H(s, α, x) の解析接続の問題は未解決. Definition 4. 4 (Shintani Zeta)

A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1r} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{l1} & … & a_{lr} \end{matrix} ) a_{ij} > 0

x = (x_{1}, ⋯ x_{r}) x_{i} > 0 L_{i}(y) = x_{i} + a_{i1}y_{1} + ⋯ + a_{ir}y_{r}

ζ(s, A, x) := ∑_{m_{1},···,m_{r}=0}^{∞} ∏_{i=1}^{l} L_{i}(m)^{−s}

総実代数体の Zeta

∑_{α∈C}(N_{k}α)^{−s}

C : R^{n} 内のある Lattice ∩ cone.

α = a_{1}ω_{1} + ⋯ a_{n}ω_{n}.
Nα = ∏_{i=1}^{n} (a_{1}ω_{1}^{(i)} + ⋯ a_{n}ω_{n}^{(i)}) .

5T.Arakawa, Math.Ann. 260 (1982) 475-494.

なので, おおよそ Shintani Zeta になる. 正確にいうと, Shintani Zeta の有限和でかける. 実二次体の場合 Lemma 4.2 がそのような分解を具体的に与える。 Shintani は総実代数体での 0 や負の整数点での値, 0 での導関数を求めるために Shintani Zeta を導入した.

以下, r = l = 2 の場合について, 解析接続, 特殊値の計算を行なう.

∑_{m,n}{(a + mω_{1} + nω_{2})(b + mω′_{1} + nω′_{2})}^{−s}

ω_{1}ω′_{1} で割ることで, ω_{1} = ω′_{1} = 1 となる. よって,

A = ( \begin{matrix}1 & a \\ 1 & b \end{matrix} ) 0 < a < b

としてしまっても一般性を失わない.

ζ(s, A, (x, y)) := ∑_{m,n=0}^{∞}{(x + m + (y + n)a)(x + m + (y + n)b)}^{−s}

としても同じなので, これを扱う. (x > 0, y > 0) Re(s) > 1 とすると,

Γ(s)^{2}ζ(s, A, (x, y)) = ∑_{m,n=0}^{∞} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} (\frac{t_{1}}{x + m + (y + n)a})^{s} (\frac{t_{2}}{x + m + (y + n)b})^{s}

×e^{−t_{1}−t_{2}} · \frac{dt_{1}dt_{2}}{t_{1}t_{2}}

= ∑_{m,n=0}^{∞} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞}(t_{1}t_{2})^{s−1}e^{−t_{1}(x+m+(y+n)a)−t_{2}(x+m+(y+n)b)}dt_{1}dt_{2}
= ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞}(t_{1}t_{2})^{s−1} · \frac{e^{−x(t_{1}+t_{2})}}{1 − e^{−(t_{1}+t_{2})}} · \frac{e^{−y(at_{1}+bt_{2})}}{1 − e^{−(at_{1}+bt_{2})}}  (15)

Shintani’s original method :

∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} = ∫ ∫_{t_{1}>t_{2}} + ∫ ∫_{t_{1}≤t_{2}} = I_{1} + I_{2}

とする.

t_{1} = t , t_{2} = ut とおくと,

( \begin{matrix}t_{1}, t_{2} > 0 \\ t_{1} > t_{2} \end{matrix} ) ⟺ t > 0 , 0 < u < 1

\frac{∂(t_{1}, t_{2})}{∂(t, u)} = | \begin{matrix}1 & 0 \\ u & t \end{matrix} | = t.

よって

I_{1} = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{∞}(t · ut)^{s−1} · \frac{e^{−x(t+ut)}}{1 − e^{−(t+ut)}} · \frac{e^{−y(at+but)}}{1 − e^{−(at+but)}} · tdtdu
= ∫_{0}^{1} u^{s−1} ∫_{0}^{∞} t^{2s−1} \frac{e^{−xt(1+u)}}{1 − e^{−t(1+u)}} · \frac{e^{−yt(a+bu)}}{1 − e^{−t(a+bu)}} dtdu

g(t, u) =^{def} \frac{e^{−x(t+ut)}}{1 − e^{−(t+ut)}} · \frac{e^{−y(at+but)}}{1 − e^{−(at+but)}}

とおく。

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} C_{1}  1

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} C_{∞}

= ∫_{0}^{∞} t^{2s−1} · \frac{1}{e^{2πis} − 1} ∫_{C_{1}} u^{s−1}g(t, u)dudt
= \frac{1}{e^{2πis} − 1} · \frac{1}{e^{4πis} − 1} × ∫_{C_{∞}} t^{2s−1} ∫_{C_{1}} u^{s−1}g(t, u)dudt.
 ζ(s, A, (x, y)) = \frac{1}{Γ(s)^{2}e^{2πis} − 1e^{4πis} − 1}

× ∫_{C_{∞}} t^{2s−1} ∫_{C_{1}} u^{s−1}g(t, u)dudt + (†)

(†) ⋯ I_{2} の同様の表示式. これによって, 全平面への解析接続が与えられる. また, s = 0 , 負の整数のとき C_{∞}, C_{1} は原点

のまわり小円に置き換えてよく, 留数計算によって特殊値がわかる. Another Method (こちらの方が Barnes Zeta との関係が見易い.)

29ページ (15) において， t = t_{1} + t_{2} , tu = at_{1} + bt_{2} とおく．

t_{1} = \frac{1}{b − a} | \begin{matrix}t & 1 \\ tu & b \end{matrix} | = \frac{t(b − u)}{b − a}

t_{2} = \frac{1}{b − a} | \begin{matrix}1 & t \\ a & tu \end{matrix} | = \frac{t(u − a)}{b − a}

t_{1} > 0 , t_{2} > 0 より a < u < b.

また， Jacobian = \frac{t}{b − a} よって，

(15) = \frac{1}{(b − a)^{2s−1}} ∫_{a}^{b}\{(b − u)(u − a)\}^{s−1}du

× ∫_{0}^{∞} t^{2s−1} \frac{e^{−xt}}{1 − e^{−t}} · \frac{e^{−yut}}{1 − e^{−ut}} dt

∫_{0}^{∞} t^{2s−1} \frac{e^{−xt}}{1 − e^{−t}} · \frac{e^{−yut}}{1 − e^{−ut}} dt = ∫_{0}^{∞} t^{2s−1} \frac{e^{−t(x+yu)}}{(1 − e^{−t})(1 − e^{−ut})}
= Γ(2s) · ζ_{2}(2s, x + yu | (1, u))

故に，

ζ(s, A, (x, y)) = \frac{1}{(b − a)^{2s−1}} \frac{Γ(2s)}{Γ(s)^{2}} ∫_{a}^{b} P (u)^{s−1}ζ_{2}(2s, x + yu | (1, u))du.
where P (u) = (u − a)(b − u) for Re(s) > 1

ζ_{2} の解析接続を考えると， Re(s) > 0 まで積分は収束．

Lemma 4. 3 D ⊂ C 領域 f(z) : D で正則． c_{1}, ⋯, c_{N} ∈ D ν_{1}, ⋯, ν_{N} ∈ N 次のような多項式 P (z) が構成できる．

f(z) − P (z) = O (|z − c_{j}|^{ν_{j}}) as z → c_{j} (j = 1, ⋯, N)

proof

Q(z) := (z − c_{1})^{ν_{1}} ⋯ (z − c_{N})^{ν_{N}}
Q_{j}(z) := Q(z)/(z − c_{j})^{ν_{j}}
F (z) := f(z)/Q(z)

とする．

c_{j} における F (z) の主要部を\frac{1}{(z − c_{j})^{ν_{j}}} P_{j}(z) とすると, P_{j}(z), Q_{j}(z) ∈ C[z].

H(z) := F (z) − ∑_{j=1}^{N} \frac{P_{j}(z)}{(z − c_{j})^{ν_{j}}} は D で正則.

よって, f(z) = F (z)Q(z) なので

F (z) − ∑_{j=1}^{N} P_{j}(z)Q_{j}(z) = F (z)Q(z) − ∑_{j=1}^{N} P_{j}(z) · \frac{Q(z)}{(z − c_{j})^{ν_{j}}}
= H(z)Q(z).

よって, P (z) = ∑_{j=1}^{N} P_{j}(z)Q_{j}(z) ととればよい. 特に, N = 2 , c_{1} = a , c_{2} = b , ν_{1} = ν , ν_{1} = ν , ν_{2} = μ のとき,

P_{1}(z) = ∑_{m=0}^{ν−1} (\frac{d}{dz} )^{m} \frac{f(z)}{(z − b)^{μ}} |_{z=a}(z − a)^{m} \frac{1}{m!}
P_{2}(z) = ∑_{n=0}^{μ−1} (\frac{d}{dz} )^{n} \frac{f(z)}{(z − a)^{μ}} |_{z=b}(z − b)^{n} \frac{1}{n!}

P (z) = (z − b)^{μ} ∑_{m=0}^{ν−1} A_{m}(z − a)^{m} + (z − a)^{ν} ∑_{n=0}^{μ−1} B_{n}(z − b)^{n}.

where

A_{m} = ∑_{k=0}^{m} \frac{f^{(m−k)}(a)}{(m − k)!}\binom{−μ}{k}\frac{1}{(a − b)^{μ+k}}
B_{n} = ∑_{l=0}^{n} \frac{f^{(n−l)}(b)}{(n − l)!}\binom{−ν}{l}\frac{1}{(b − a)^{ν+l}}

μ = ν = 1 のとき

A_{0} = \frac{f(a)}{a − b} , B_{0} = \frac{f(b)}{b − a}

P (z) = \frac{1}{b − a} \{(z − a)f(b) + (b − z)f(a)\}

よって,

F (s, u) := ζ_{2}(2s, x + yu | (1, u))

− \frac{1}{b − a} \{(b − u)ζ_{2}(2s, x + ya | (1, a)) + (u − a)ζ_{2}(2s, x + yb | (1, b))\} .

とおくと,

∫_{a}^{b} P (u)^{s−1}F (s, u)du (= H(s))

は ζ_{2}(2s, ⋯) の pole を除いて Re(s) > −1 で正則. すると,

ζ_{2}(s, A, (x, y)) = \frac{Γ(2s)}{Γ(s)^{2}} \frac{1}{(b − a)^{2s−1}}

× [\frac{1}{b − a} \{ζ_{2}(2s, x + ya | (1, a)) ∫_{a}^{b}(b − u)^{s}(u − a)^{s−1}du

+ ζ_{2}(2s, x + yb | (1, b)) ∫_{a}^{b}(b − u)^{s−1}(u − a)^{s}du} + H(s)]

= \frac{1}{2} \{ζ_{2}(2s, x + ya | (1, a)) + ζ_{2}(2s, x + yb | (1, b))\}

+ \frac{Γ(2s)}{Γ(s)^{2}} · \frac{1}{(b − a)^{2s−1}} H(s)

ここで, s = 0 とすると第二項は 0 になることに注意すれば, Theorem 4. 5

ζ(0, A, (x, y)) = \frac{1}{2} \{ζ_{2}(0, x + ya | (1, a)) + ζ_{2}(0, x + yb | (1, b)\}
ζ′(0, A, (x, y)) = \frac{1}{2} \{ζ_{2}′(0, x + ya | (1, a)) + ζ_{2}′(0, x + yb | (1, b))\}

+ \frac{b − a}{4ab} log (\frac{a}{b}) B_{2}(x)

以上の方法は S.Egami, Mathematika 33 (1986) μ , ν がより大きいところまでこの補間をすすめると, k : nonnegative integer

ξ_{2,k}(s, ω; x, y) := ∑_{m,n=0}^{∞} \frac{(y + n)^{k}}{(x + m + (y + n)ω)^{s+k}} (Re(s) > 2)

Theorem 4. 6

ζ(−n, A, (x, y)) = \frac{1}{2} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(b − a)^{k} \{ξ_{2,k}(−2n, a; x, y) + (−1)^{k}ξ_{2,k}(−2n, b; x, y)\}
ζ′(−n, A, (x, y)) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(b − a)^{k} \{ξ_{2,k}′(−2n, a; x, y) + (−1)^{k}ξ_{2,k}′(−2n, b; x, y)\}
+E(a, b, x, y)

E(a, b, x, y) , a, b, x, y の初等関数. m ∈ Z , m ≥ k に対し

ξ_{2,k}(−m, u; x, y) = \frac{(−1)^{m}}{(m + 1 − k)(m + 2 − k)}

× \{\frac{(−1)^{k}}{\binom{m+2}{k}}B_{m+2}(x)\frac{1}{u^{k+1}} + ∑_{l=0}^{m+2−k} \binom{m + 2 − k}{l}B_{m+2−k−l}(x)B_{k+l}(y)u^{l−1}\}

Remark 8 ξ_{2,k}(s, u; x, y) は s = 2, 1, ⋯, 1 − k に simple pole を持つ実際

ξ_{2,k}(s, u; x, y) = \frac{(−1)^{k}}{s(s + 1) ⋯ (s + k − 1)} (\frac{∂}{∂u})^{k} ζ_{2}(s, x + yu | (1, u))

となっている.

ξ_{2,k}(s, u; x, y) = ∑_{ν=0}^{k} c^{(ν)}(u; k)ζ_{2+ν}(s + k, x + (ν + y)u | (1, \underbrace{u, ⋯, u}_{ν+1}))

も成立する. ここに c^{(ν)}(u; k) は

e^{ux}(e^{x} − 1)^{n} = ∑_{l=n}^{∞} \frac{x^{l}}{l!} c^{(ν)}(u; l)

によって定義されるものとする. Remark 9

ζ(s_{1}, ⋯, s_{l}, A, x) := ∑_{m_{1},···,m_{l}=0}^{∞} ∏_{i=1}^{l} L_{i}(m)^{−s_{i}}

は C^{l} に有理型に解析接続される. (Imai , 1981)

Remark 10 行列の Size を変えて,

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(k + α)^{s_{1}}(k + β)^{s_{2}}}

も Shintani Zeta とみなせる. これは Kumagai, 数理研講究録 1060 (1998),154-165 などで異なる方法で扱われているが、ここのやり方でもできるはず。

5 ”Singular” ( or “degenerate” ) Shintani Zeta and mean value of Hurwitz zeta

このセクションでは A のいくつかの行列成分が 0 となる場合を考察する。最近話題になっている Zagier の多重ゼータはこの場合になっているし、ゼータ関数の平均値理論で重要な Atkinson の方法ではこのようなゼータ関数の解析接続が重要である。

例 2 (Zagier)

ζ(s_{1}, ⋯, s_{r}) = ∑_{0<n_{1}<···<n_{r}} n_{1}^{−s_{1}} ⋯ n_{r}^{−s_{r}}
= ∑_{m_{1},···,m_{r}=0} (1 + m_{1})^{−s_{1}}(1 + m_{1} + m_{2})^{−s_{2}} ⋯ (r + m_{1} + ⋯ + m_{r})^{−s_{r}}
= ζ(s, A, (1, ⋯ r)) s = (s_{1}, ⋯, s_{r})

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & … & 0 \\ 1 & 1 & 0 & … & 0 \\ 1 & 1 & 1 & … & 0 \\ 1 & 1 & 1 & ... & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & … & 1 \end{matrix} )

r = 2 のとき

∑ (n + α)^{−s_{1}}(n + m + 1 + α)^{−s_{2}} A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} )^{6}  (16)
∑ (α + m)^{−s_{1}}(α + m + nwq)^{−s_{2}} A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & w \end{matrix} )^{7}  (17)

r = 3 のとき ( Mordell,Zagier )

∑_{m,n=1}^{∞} m^{−s_{1}}n^{−s_{2}}(m + n)^{−s_{3}} A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )  (18)

解析接続が既知なのは (16) , (17) のみ.

ζ(s, u) = ∑_{m,n=1}^{∞} m^{−s}(m + n)^{−u}

を考える.

Γ(s)Γ(u)ζ(s, u) = ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} x^{s−1}y^{u−1} ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} e^{−mx−(m+n)y}dxdy
= ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} x^{s−1}y^{u−1} \frac{1}{e^{x+y} − 1} \frac{1}{e^{y} − 1}dxdy  (19)

1. Shintani’s method をあてはめてみる.

I_{1}(s) = ∫_{0}^{∞} t^{s+u−1} ∫_{0}^{1} z^{u−1} · \frac{1}{e^{t(1+z)} − 1} \frac{1}{e^{tz} − 1}dzdt

z の path を

.....................................................................................................................................................................................................................  ............................................ ........ ....................................................

に変形すると, 1/(e^{tz} −1) の factor が Re(s) < 0 のときに,t についての収束をこわす factor になってしまうので, この変形ができない.

6Atkinson,Motohashi,Katsurada,Matsumoto 7Matsumoto

2. Egami’s interpolation method では,

Γ(s + u) ∫_{0}^{1}(1 − z)^{s−1}z^{u−1} \underbrace{ζ_{2}(s + u, 1 + z | (1, z))}_{z=0 で singular}dz

しかも, pole より性質が悪い. (natural boundary?) よって, 1,2 のような non-singular Shintani に対して成功した方法はうまくいかない. Motohashi’s method

(19) = ∫_{0}^{∞} \frac{y^{u−1}}{e^{y} − 1} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{s−1}}{e^{x+y} − 1}dxdy

まず Re(u) > 1, Re(s) > 1 としておくわけだが, 実は Re(s) > 0, Re(u) > 1, Re(s + u) > 2 で収束.

h(z) = \frac{1}{e^{z} − 1} − \frac{1}{z}

0 < Re(s) < 1 として,

上式

= ∫_{0}^{∞} \frac{y^{u−1}}{e^{y} − 1} ∫_{0}^{∞} x^{s−1}h(x + y)dxdy
+ ∫_{0}^{∞} \frac{y^{u−1}}{e^{y} − 1} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{s−1}}{x + y} dxdy  (20)

ここで

∫_{0}^{∞} \frac{x^{s−1}}{x + y} dx = y^{s−1}Γ(s)Γ(1 − s) for 0 < Re(s) < 1

よって, (20) の第二項は,

= Γ(s)Γ(1 − s) ∫_{0}^{∞} \frac{y^{s+u−2}}{e^{y} − 1} dy
= Γ(s)Γ(1 − s)Γ(s + u − 1)ζ(s + u − 1)

一方, h(z) は z = 0 で正則なので, (20) の第一項は Contour 積分に直して,

= \frac{1}{(e^{2πiu} − 1)(e^{2πis} − 1)} ∫_{C_{∞}} \frac{y^{u−1}}{e^{y} − 1} ∫_{C_{∞}} x^{s−1}h(x + y)dxdy

これらをまとめて

Theorem 5. 1 (Motohashi) ^{8}
ζ(s, u) = \frac{1}{Γ(s)Γ(u)(e^{2πiu} − 1)(e^{2πis} − 1)} ∫_{C_{∞}} \frac{y^{u−1}}{e^{y} − 1} ∫_{C_{∞}} x^{s−1}h(x + y)dxdy

+ \frac{Γ(1 − s)}{Γ(u)}Γ(s + u − 1) for Re(s) < 1,^{∀}u ∈ C

8Proc. Japan Acad. 61 (1985) 222-224. 詳しくは Katsurada - Matsumoto, Math. Z. 208 (1991) 23-39.

この方法は, ζ(s_{1}, ⋯, s_{r}), r ≥ 3 のときはできていない.

ただし, ζ(m_{1}, ⋯, m_{r−1}, s), m_{1}, ⋯, m_{r−1} ∈ Z, m_{i} ≥ 2 の解析接続は得られている. ( Arakawa - Kaneko , preprint )

Zeta の二乗平均

∫_{0}^{T} |ζ(σ + it)|^{2}dt, ∑_{χmodk} |L(s, χ)|^{2}, ∑_{a=1}^{k} |ζ (s, \frac{a}{k} )|^{2}

を, T, k について評価する問題.

ζ(s)ζ(u) = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{m^{s}n^{u}}
= ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{m^{s+u}} + ∑_{m>n} + ∑_{m<n}

ここで

∑_{m<n} = ∑_{m<n} \frac{1}{m^{s}n^{u}} = ζ(s, u) (Zagier Zeta)

になっている. よって

ζ(s)ζ(u) = ζ(s + u) + ζ(s, u) + ζ(u, s)

p : 素数

∑_{χmodp} L(u, χ)L(v, \overline{χ}) (by p.5 (1))

= p^{−u−v} ∑_{χ} ∑_{a=1}^{p−1} ∑_{b=1}^{p−1} χ(a)\overline{χ}(b)ζ (u, \frac{a}{p}) ζ (v, \frac{a}{p})
= p^{−u−v} ∑_{a=1}^{p−1} ∑_{b=1}^{p−1} ζ (u, \frac{a}{p}) ζ (v, \frac{a}{p}) ∑_{χ} χ(a)\overline{χ}(b)
= p^{−u−v}(p − 1) ∑_{a=1}^{p−1} ζ (u, \frac{a}{p}) ζ (v, \frac{a}{p})

ここで

∑_{χ} χ(a)\overline{χ}(b) = \{ \begin{matrix}p − 1 & a = b \\ 0 & a ≠ b \end{matrix}

を用いた.

Remark 11 ∑ |L(s, χ)|^{2r}, r > 1 のときはζ (s, \frac{a}{p}) との関係は複雑. よって結局,

∑_{a=1}^{p−1} ζ (u, \frac{a}{p}) ζ (v, \frac{a}{p}) (= f(u, v))

を考えることに帰着する. Re(u) > 1, Re(v) > 1 で

f(u, v) = ∑_{a=1}^{p} \{ ∑_{m=0}^{∞} \frac{1}{(\frac{a}{p} + m)^{u+v}} + ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(\frac{a}{p} + m)^{u} (\frac{a}{p} + m + n)^{v}}

+ ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{(\frac{a}{p} + n)^{v} (\frac{a}{p} + m + n)^{u}} \}

= ∑_{a=1}^{p} \{ζ (u + v, \frac{a}{p}) + ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} + ∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=1}^{∞}\}
= p^{u+v}ζ(u + v) + ∑_{a=1}^{p} {I(a, u, v) + I(a, v, u)}

∑_{a=1}^{p} Γ(u)Γ(v)I(a, u, v) = ∑_{a=1}^{p} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} x^{u−1}y^{v−1} ∑_{m=0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} p^{u+v}e^{−(a+mp)x}e^{−(a+(m+n)p)y}dxdy
= p^{u+v} ∑_{a=1}^{p} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} x^{u−1}y^{v−1} \frac{e^{−a(x+y)}}{1 − e^{−p(x+y)}} · \frac{1}{e^{py} − 1}dxdy
= p^{u+v} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} x^{u−1}y^{v−1} (∑_{a=1}^{p} e^{−a(x+y)}) · \frac{dxdy}{(1 − e^{−p(x+y)})(e^{py} − 1)}
∑_{a=1}^{p} e^{−a(x+y)} = \frac{e^{−(x+y)}(1 − e^{−p(x+y)})}{1 − e^{−(x+y)}} より
= p^{u+v} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} x^{u−1}y^{v−1} · \frac{1}{e^{x+y} − 1} · \frac{1}{e^{py} − 1}dxdy

py を y とおくと,

= p^{u} ∫_{0}^{∞} \frac{y^{v−1}}{e^{y} − 1} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{u−1}}{e^{x+(y/p)}} dxdy
= p^{u} ∫_{0}^{∞} \frac{y^{v−1}}{e^{y} − 1} ∫_{0}^{∞} x^{u−1}h (x + \frac{y}{p} ) dxdy
+ pΓ(u)Γ(1 − u)Γ(u + v − 1)ζ(u + v − 1)

for 0 < Re(u) < 1 , Re(v) > 1 , Re(u + v) > 2

Taylor 展開

h (x + \frac{y}{p} ) = ∑_{n=0}^{N} \frac{h^{(n)}(x)}{n!} (\frac{y}{p} ) + R_{N}(x, y)

を代入することで, p の負巾による漸近展開ができる. (Katsurada - Matsumoto)

問題 6

∑_{a=1}^{p} ζ (u_{1}, \frac{a}{p}) ⋯ ζ (u_{r}, \frac{a}{p})

の p についての漸近展開は？

ζ(u_{1}, ⋯, u_{r}; α) := ∑_{0≥m_{1}<···<m_{r}} \frac{1}{(α + m_{1})^{s_{1}}(α + m_{2})^{s_{2}} ⋯ (α + m_{r})^{s_{r}}}

とおいて,

∑_{a=1}^{p} ζ(u_{1}, ⋯, u_{r}; \frac{a}{p})

の p についての漸近展開は？

Remark 12 Singular Shintani zeta の解析接続の問題に関しては、最近、進展があった。集中講義の直後、秋山茂樹氏が、 Eular-Maclaurin 和公式を使った Zagier 多重ゼータの解析接続を証明した。この方向に関しては [AET], [AT] などを見て欲しい。それ以外にも秋山、石川氏による研究 [AI] がある。また、荒川氏によれば [AK] の方法を見直すことにより、解析接続は証明できるとのことである。さらに、最近別の方法による [Z] という論文も出ている。但し、これらは負の整数点での値を目的にしたものであり、このセクションで述べたような平均値理論への応用ができるかどうかは定かではない。

参考文献

[Kan] 金子昌信, 多重ゼータ値と多重ベルヌーイ数, 都立大学数学教室セミナー報告, 1997.

[Kur] 黒川信重, 多重サイン関数について（東大における講義, 小山信也氏によるノート） ,1991.

[AK] T. Arakawa and M. Kaneko, Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related functions, Nagoya Math J., 153(1999), 189-209.

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