八王子数論セミナーの記録

• 第33回   関数体の数論と正標数多重ゼータ値   2023年8月24日 - 8月28日

  テキスト：
  - D. Goss, “Basic structures of function field arithmetic”, Springer-Verlag, Berlin, 1996.
  - G. W. Anderson, W. D. Brownawell and M. A. Papanikolas, “Determination of the algebraic relations among special Gamma-values in positive characteristic”, Ann. of Math. (2) 160 (2004), no. 1, 237-313.

特別講師：三柴善範，原田遼太郎

セミナーオーガナイザー： 三柴善範


有理整数環 (標数0) と有限体上の1変数多項式環 (正標数) の間には様々な類似が成り立つことが知られている． 本セミナーでは，正標数の数論の基礎についてGossの3章を使って勉強したあと，正標数において， 周期の超越性や線形/代数的独立性を導くことができる強力な道具であるAnderson-Brownawell-Papnikolasによる判定法を， 原論文で勉強した．最終日には，ABP理論を用いてセミナーオーガナイザーによって得られた最近の研究結果について，特別講演があった． 終盤の先生方のご調整のおかげで，予定していた内容を終えることができた．

初めて，東京理科大学 (野田キャンパス)の講義棟とセミナーハウスを用いて実施された．東京理科大学の中村隆氏の 多大なるご協力のおかげで，懇親会も含めて無事開催することができた．参加者は29名．




• 第32回   モックテータ関数   2022年8月23日 - 8月27日

  テキスト： Sander P. Zwegers 著, 「Mock Theta Functions」 2002, Ph.D. Thesis, Universiteit Utrecht.

特別講師，セミナーオーガナイザー：松坂 俊輝


モックテータ関数とは，RamanujanからHardyへの最後の手紙 (1920年)に書かれていたもので，この手紙には17個の具体例と共に 満たすべき性質や関係式が綴られていた．本セミナーでは，Zwegersの1章で，Lerch和としてのモックテータ関数を学び， 次に2章で不定値テータ関数としてのモックテータ関数を学んだ．これらを通して，"q-級数"としてではなく"モジュラー形式"としての モックテータ関数について習得できた．最終日の特別講演では，トポロジー・組み合わせ論・量子モジュラー形式と モックテータ関数との関連についての近年の研究の紹介が行われた．ほぼプログラム通りの進行であった．

当初2020年に計画していたものだったが，COVID-19により2年延期で実施された．セミナー室のインターネットが強化さ れ， ハイブリッドセミナー用のミキサー・マイクなどのセットを無料で借りられたため，初めて，ハイブリッド形式での開催ができた． 参加者は29名 (内zoomのみでの参加は8名)であった．




• 第31回   Waring問題   2019年8月27日 - 8月31日

  テキスト： R. C. Vaughan 著 「The Hardy-Littlewood Method」， Cambridge University Press, 1997

特別講師：川田浩一

セミナーオーガナイザー： 鈴木雄太


十分大きな全ての整数を，k乗数の和で書くのに必要な最低個数をG(k)とする. 第2章でCircle Methodの基本である，major arc, minor arc，指数和の評価の仕方を学んだ後，Weyl不等式とHuaの補題を使ったG(k)の上界を学んだ． その後，第4章で，Weil boundやPoisson和公式を援用したmajor arcの取り扱いの改良を学んだ． 途中計算があまり書かれていないので，初学者には難しい本であったが，講演者たちは皆よく勉強していた． 最後に，特別講師より，最近の進展とともに，評価の心得についても解説があり，テキストの理解を深められた．

参加者は38名（！）とおそらく歴代最高．初日は中央セミナー室に変更し，残りの日程は記念館から机を一部出して，収容できる 人数を増やした．

また，2020年1月26日--28日まで東京工業大学大岡山キャンパスにて 冬の部を開催し第12章を勉強した. smooth numberに渡る平均に対しefficient differenceを繰り返し取ってminor arcを扱うWooleyの方法を学び，現在ほぼ最良の
    G(k) ≤ k log k + k log log k + O(k)
という評価に到達した．学期末のせいか, 冬の部の参加者は12名であった.  セミナーオーガナイザーによる詳 細補足ノート




• 第30回   カタラン問題   2018年8月24日 - 8月28日

  テキスト：Yuri F. Bilu, Yann Bugeaud, Maurice Mignotte 著 「The Problem of Catalan」， Springer International Publishing, 2014

特別講師：宮崎隆史

セミナーオーガナイザー： 岡崎龍太郎


「a^x - b^y = 1 を満たす自然数の組は，(a, b, x, y) = (3, 2, 2, 3)のみである」と いうカタラン予想の，Mihailescuによる証明を 学んだ．合同式などを使った初等的議論を使う方法や，Inkeriによる円分体の性質を用いた方法を学んだのち，群環内に定義されるMihailescu イデアルと その応用を見た．最後に，a^x + b^y = c^z に関するHe-Togbeの結果とその証明について，特別講師により紹介された．

参加者は26名で盛会であった．

なお，9章 (Mihailescuイデアルのプラス部分) と11章 (証明の終わり) に関しては，2018年12月21日・22日に日本大学理工学部で開かれた延長戦 で学んだ．こちらの参加者も25名と，盛会であった．




• 第29回   超越数論入門 ― Siegel-ShidlovskiiのE関数論 ―   2017年8月28日 - 9月1日

  テキスト：A.B.Shidlovskii 著「Transcendental Numbers」， de Gruyter Studies in Mathematics 12, Walter de Gruyter, 1989

特別講師：天羽雅昭，川島誠

セミナーオーガナイザー： 天羽雅昭


指数関数をモデルにしてSiegelによって定義された「E関数」が，連立線形微分方程式系を満たすとき，代数的数での特殊値が代 数的独立になることについて学んだ．また，Bessel 関数やその微分への応用も見た．これらは， Lindemann-Weierstrassの定理の広大な一般化である．最後に，Chudnovsky兄弟による同時型パデ近似の方法について，及びE 関数を消すような微分作用素を用いたAndreの手法について，特別講師により紹介された．

プログラム通り順調に終わった．参加者は20名で盛会であった．




• 第 28 回  エルゴード理論―セメレディの定理を目指して   2016 年 8 月 24 日 - 28 日

  テキスト：[F] H. Furstenberg著「Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory」, Princeton Univ. Press, 1981

  [EW] Manfred Einsiedler-Thomas Ward著「Ergodic Theory with a view towards Number Theory」, Springer, GTM259, 2011 の2冊

  特別講 師:仲田均

  セミ ナーオーガナイザー: 若林功, セミナー副オーガナイザー: 金子元

  セメレディの定理は，「正の密度をも つ整数の部分集合はいくらでも長い算術級数を含む」と言うもので，セメレディの定理のフルステンベルグによる証明を目指して，数論への具体的応用例をはさ みつつ，テキスト[F]で位相力学系（コンパクト位相空間上の力学系）の基礎とvan der Waerdenの定理の証明までを学び，[EW]でエルゴード理論の基礎(weak-mixingまで)を学んだ． また，特別講師 仲田均が「セメレディの定理と展望」の講演を行った．

  参加者は 24 人の多数となり盛会であった.

  　
  

• 第 27 回  数論力学系   2015 年 9 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: J. H. Silverman, 「The Arithmetic of Dynamical Systems」, GTM 241, Springer, 2010

  特別講 師: 奥山裕介

  セミ ナーオーガナイザー:安福悠

  複素数の場合の力学系と比較しながら 非アルキメデス体の場合の力学系を学んだ．力学系の基本的な概念 (周期点とその吸引性，multiplier，Fatou・Julia集合など）を学んだ後，有理関数の良い還元について学び，その後，悪い還元の場合に 進み，非アルキメデス版 Montelの定理，周期点の閉包にJulia集合が含まれること，非アルキメデス版 遊走領域などについて学んだ． また，宍倉光広が「複素力学系から」の紹介解説を行い，川島誠が「Berkovich空間の紹介」を行い，特別講師 奥山裕介が「Berkovich射影直線上のポテンシャル論と力学系への応用」の解説を行った．

  参加者は 24 人の多数となり盛会であった.

  　
  

• 第 26 回  Schmidt の部分空間定理   2014 年 9 月 3 日 - 7 日

  テキス ト: W. M. Schmidt, 「Diophantine Approximation」, LNM 785, Springer, 1980

  副テキ スト 1: 若林功, 「Thue の定理」, 2006 年度整数論サマースクール Diophantine Equations 報告集, pp. 21-27

  副テキ スト 2: 若林功, 「Schmidt の部分空間定理」

  副テキ スト 3: Y. Bugeaud, P. Corvaja, and U. Zannier, 「An upper bound for the G.C.D. of aⁿ - 1 and bⁿ - 1」, Math. Z. 243 (2003), 79-84

  特別講 師: 平田典子

  セミ ナーオーガナイザー: 金子元，若林功

  部分空間定理の内容と証明，およびそ の応用例を学んだ．初めにThueの定理の証明を学び，副テキスト2に沿って部分空間定理の証明を学んだ．次に応用例として，aⁿ - 1 と bⁿ - 1 の最大公約数の上限に関する結果を学んだ．また，金子元が「代数的数のb進展開」の解説を行い，特別講師平田典子が「ディオファントス近似と回帰数列」の 解説を行った．

  参加者は 25 人の多数となり盛会であった.

  　
  

• 第 25 回  p 進ポリログ関数と p 進 L 関数   2013 年 8 月 26 日 - 30 日

  テキス ト 1: W. H. Schikhof, 「Ultrametric Calculus: An Introduction to p-adic Analysis」, Cambridge Studies in Advanced Math. 4, Cambridge Univ. Press, 1984

  テキス ト 2: 坂内健一, 「p-進ポリログと p- 進 L-関数」, 数理研講究録 1256 (2002), pp. 97-130

  特別講 師: 川島誠

  セミ ナーオーガナイザー: 小川裕之，川島誠

  Schikhofのテキストでは，非 Archimedes付値体の位相，p進体，p進解析関数とp進対数関数などの例を学んだ．坂内氏のテキストでは，p 進測度を用いてp進L関数を定義し，その特殊値と大域的に定義されるp進ポリログ関数の値との関係を学んだ．最後に特別講師川島誠が「p進積分 (Coleman積分)とその応用」の概説を行った．

  参加者は 14 人.

  
  

• 第 24 回  p 進 L 関数   2012 年 8 月 26 日 - 30 日

  テキス ト: N. Koblitz, 「p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions」, 2nd ed., GTM 58, Springer, 1984

  特別講 師: 原隆

  セミ ナーオーガナイザー: 中筋麻貴，宮崎直

  Chap. 1 (p-adic numbers), Chap. 2 (p-adic interpolation of the Riemann zeta-function), Chap. 3 (Building up) と Chap. 4 (p-adic power series) の Sect. 2 までを読み, p-進体と p- 進解析の基礎を学んだ. その後, 特別講師原隆に p 進 L 関数の話題として岩澤理論の紹介を話して貰ったが，非常に良く準備されていて，演習問題まで付いている素晴らしい講義であった．準備に多大の時間を費やし てくれた様子で申し訳ない次第だった.

  参加者は, 大学院前期課程の人が増え, 21 人となり盛会であった.

  
  

• 第 23 回  Witten の多重ゼータ関数   2011 年 8 月 26 日 - 30 日

  テキス ト: 佐武一郎, 「リー環の話」, 日本評論社, 1987

  特別講 師: 松本耕二

  セミ ナーオーガナイザー: 赤塚広隆

  前半では, テキストを用いてリー環 (半単純リー環, ルート, ウェイト, Weyl 群, 簡単な単純リー環, Dynkin 図形など) の勉強を行った. 後半では, 特別講師松本耕二に Witten のゼータ関数について最新の結果にまで渡って紹介して貰った.

  多くの人が参加しやすいように, 例年とセミナーの形態を大きく変更. 前半部分でテーマの理解に必要な予備知識の勉強をテキストで学び, 後半部分でテーマの専門家を特別講師として招きテーマの紹介をして貰うことにした．

  　

  ただ今回の特別講師は，時間的にもセ ミナーの後半と言うほぼ半分に近い時間を掛けて講演をしてくれて，参加者にとっては非常に良かったが，講師には多大の負担を掛けてしまった．この様なこと にならないように，講師を複数にするなど何か改善すべきと思われる．また，講師が限定されるため，これまでの方式と隔年ごとにするなども考えると良い．

  参加者は 19 人の多数となり盛会であった.

  
  

• 第 22 回  関数体の数論   2010 年 8 月 27 日 - 31 日

  テキス ト: M. Rosen, 「Number Theory in Function Fields」, GTM 210, Springer, 2002

  セミ ナーオーガナイザー: 塩見大輔

  Chap. 1 - Chap. 5 は丁寧に, Chap. 6 - Chap. 8 は必要な部分のみを読み, 目標としていた Appendix (A proof of the function field Riemann Hypothesis) を終えることが出来た.

  参加者は 11 人.

  
  

• 第 21 回   GL(n,R) 上の保型形式と L 函数   2009 年 8 月 31 日 - 9 月 4 日, 12 月 26 日 - 29 日

  テキス ト: D. Goldfeld, 「Automorphic Forms and L-Functions for the Group GL(n,R)」, Cambridge Studies in Advanced Math. 99, Cambridge Univ. Press, 2006

  セミ ナーオーガナイザー: 宮崎直 （石井卓の支援の下）

  夏の部では Chap. 3 (Automorphic forms and L-functions for SL(2,Z)) の Hecke 作用素を除いた部分までを読み, 冬の部では Chap. 3 の残りと Chap. 5 (Maass forms and Whittaker functions for SL(n,Z)) ならびに Chap. 6 (Automorphic forms and L-functions for SL(3,Z)) を読んだ.

  参加者は, 夏の部が 11 人, 冬の部が 10 人.

  
  

• 第 20 回   続・リーマンのゼータ関数   2008 年 9 月 3 日 - 7 日

  テキス ト: 松本耕二, 「リーマンのゼータ関数」, 開かれた数学 1, 朝倉書店, 2005

  セミ ナーオーガナイザー: 松本耕二

  昨年度の続きとして, 第 8 章 (近似関数等式), 第 9 章 (平均値定理), 第 11 章 (零点密度) を読んだ. 第 10 章 (二乗平均と約数問題) は要点の説明のみが行われた.

  このところ減少していた参加者が 21 人と増え, 若い人が沢山参加.

  
  

• 第 19 回   リーマンのゼータ関数   2007 年 8 月 3 日 - 7 日

  テキス ト: 松本耕二, 「リーマンのゼータ関数」, 開かれた数学 1, 朝倉書店, 2005

  テキストの著者をオーガナイザーとし て, 第 3 章 (素数定理), 第 4 章 (非零領域), 第 5 章 (明示公式と零点の個数), 第 7 章 (オーダー評価) を読んだ.

  
  

• 第 18 回   Eichler-Shimura 理論   2006 年 7 月 31 日 - 8 月 4 日

  テキス ト: A. W. Knapp, 「Elliptic Curves」, Math. Notes 40, Princeton, 1992

  楕円曲線と保型形式の理論を復習した 後, Chap. XI (Eichler-Shimura Theory) を読んで理論の概要を学んだ.

  
  

• 第 17 回   虚数乗法論   2005 年 7 月 30 日 - 8 月 3 日

  テキス ト: A. Borel, S. Chowla, C. S. Herz, K. Iwasawa and J.-P. Serre, 「Seminar on Complex Multiplication」, LMN 21, Springer, 1966

  Chap. III (Class Invariants I), Chap. IV (Class Invariants II), Chap. V (Class Fields) を読んで 虚二次体の Hilbert 類体の構成を学んだ.

  最終日の昼食は八王子駅ビル 10F の香港蒸籠で飲茶バイキング.

  
  

• 第 16 回   Kronecker の極限公式   2004 年 8 月 28 日 - 9 月 1 日

  テキス ト: C. L. Siegel, 「Advanced Analytic Number Theory」, Tata Institute of Fundamental Research, 1980

  Chap. I (Kronecker's Limit Formulas) を読んだ.

  大 学セミナー・ハウス のウェブページに数論セミナーとして紹介された.

  
  

• 第 15 回   篩法と Goldbach 予想   2003 年 8 月 30 日 - 9 月 3 日

  テキス ト: M. B. Nathanson, 「Additive Number Theory, The Classical Bases」, GTM 164, Springer, 1996

  Chap. 7 (The Shnirel'man-Goldbach Theorem) の初めの部分, ならびに Chap. 9 (The Linear Sieve) と Chap. 10 (Chen's Theorem) を読んだ (一部は省略).

  前年度までと比べて A 定食の質が劇的に向上した. 一方 B 定食はカロリー過多. なお最終日の昼食は八王子駅近くのシャンティ (インド料理) でとった.

  
  

• 第 14 回   Riemann ゼータ函数の零点   2002 年 7 月 31 日 - 8 月 4 日

  テキス ト 1: A. Selberg, 「On the zeros of Riemann's zeta-function」, Collected Papers Vol. 1, pp. 85-141

  テキス ト 2: A. Selberg, 「Contribution to the theory of the Riemann zeta-funtion」, Collected Papers Vol. 1, pp. 214-280

  テキスト 1 (ほぼ全部) とテキスト 2 の Sect. 3 までを読んで, 所謂 mollifier のテクニックを学んだ.

  
  

• 第 13 回   続・類体論入門   2001 年 8 月 6 日 - 10 日

  テキス ト: 足立恒雄・三宅克哉, 「類体論講義」, 日評数学選書, 日本評論社, 1998

  第 I 部の付録 A (代数的予備知識) で群のコホモロジーを学んだ後に, 第 2 章 (前年度の残り) と 第 4 章 (イデールによる類体論) を読んだ.

  
  

• 第 12 回   類体論入門   2000 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: 足立恒雄・三宅克哉, 「類体論講義」, 日評数学選書, 日本評論社, 1998

  第 I 部の第 2 章 (局所体の基礎理論) と 第 3 章 (イデアルによる類体論) を読んだ.

  この年からセミナー・ハウスの食事に B 定食が誕生. 値段は従来の食事の倍だが, 概ね好評であった.

  
  

• 第 11 回   数の幾何   1999 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: C. L. Siegel, 「Lectures on the Geometry of Numbers」, Springer, 1989

  Chap. I (Minkowski's Two Theorems) と Chap. II (Linear Inequalities) の一部を読んだ.

  
  

• 第 10 回   Roth の定理   1998 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: W. M. Schmidt, 「Diophantine Approximation」, LNM 785, Springer, 1980

  Chap. V (Roth's Theorem) を読んだ.

  
  

• 第 9 回   Turán の方法と L 函数の零点   1997 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: H. L. Montgomery, 「Ten Lectures on the Interface between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis」, CBMS 84, AMS, 1994

  Chap. 5 (An Introduction to Turán's Method) と Chap. 9 (Zeros of L-Functions) を読んだ.

  
  

• 第 8 回   一様分布と指数和   1996 年 8 月 8 日 - 12 日

  テキス ト: H. L. Montgomery, 「Ten Lectures on the Interface between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis」, CBMS 84, AMS, 1994

  Chap. 1 (Uniform Distribution), Chap. 2 (van der Corput Sets) の前半, ならびに Chap. 3 (Exponential Sums I: The Methods of Weyl and van der Corput) を読んだ.

  
  

• 第 7 回   Selberg ゼータ函数   1995 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: D. A. Hejhal, 「The Selberg Trace Formula for PSL(2,R), Vol. 1」, LNM 548, Springer, 1976

  Chap. 2 (The Selberg Zeta Function) の前半を読んだ.

  当初の予定では懲りずに Hejhal の電話帳の続きを読む筈であったが, 賢明にも軌道修正.

  
  

• 第 6 回   Selberg 跡公式   1994 年 8 月 8 日 - 12 日

  テキス ト 1: D. A. Hejhal, 「The Selberg Trace Formula for PSL(2,R), Vol. 1」, LNM 548, Springer, 1976

  テキス ト 2: D. A. Hejhal, 「The Selberg Trace Formula for PSL(2,R), Vol. 2」, LNM 1001, Springer, 1983

  Chap. 1 (The Trace Formula for Compact Riemann Surfaces) と Chap. 6 (Development of the Trace Formula (Version A)) の初めの部分を読んだ.

  当初の計画は Chap. 6 だけを読むという無謀なものであった.

  
  

• 第 5 回   量指標をもつゼータ函数   1993 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: J. T. Tate, 「Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta-functions, in Algebraic Number Theory」， (J. W. S. Cassels and A. Fröhlich eds.), Academic Press, 1967, pp. 305-347

  読んだのは Tate の学位論文.

  
  

• 第 4 回   楕円曲線の Hasse-Weil L 函数   1992 年 8 月 1 日 - 5 日

  テキス ト: N. Koblitz, 「Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms」, GTM 97, Springer, 1993

  Chap. II (The Hasse-Weil L-Function of an Elliptic Curve) を読んだ.

  
  

• 第 3 回   モジュラ─形式   1991 年 7 月 29 日 - 8 月 3 日, 12 月 26 日 - 28 日

  テキス ト: N. Koblitz, 「Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms」, GTM 97, Springer, 1993

  Chap. III (Modular Forms) を読んだ.

  夏の部は昨冬に続いて明治学院大の横 浜校舎で行われ, 北鎌倉と中華街への遠足も催された. また, 冬の部では遠来荘で餅つきが行われた.

  夏と冬で合計 9 日間という長いセミナーであった.

  
  

• 第 2 回   Abelian Variety 入門   1990 年 7 月 30 日 - 8 月 3 日, 12 月 26 日 - 27 日

  テキス ト: 清水英男, 「保型関数 II」, 岩波講座基礎数学, 岩波書店, 1977

  第 5 章 (多変数複素関数の予備知識), 第 6 章 (Abel 関数) ならびに第 7 章 (Abel 多様体の族と数論的不連続群) を読んだ.

  冬の部は明治学院大の横浜校舎で行わ れた.

  
  

• 第 1 回   楕円曲線上の超越数論   1989 年 8 月 5 日 - 9 日

  テキス ト: D. Bertrand, 「Hauteurs et isogénies」, preprint (後に Astérisque 183 (1990), 107-125 に掲載)

  テキストは D. W. Masser と G. Wustholtz のプレプリント (後に Invent. Math. 100 (1990), 1-24 に掲載) の解説. テキストを読むために必要な事柄の解説や 関連する話題に関する講演も行われた. テキストの解説以外の講演のタイトルは次の通り:

  • Elliptic Curves, Isogenies

  • Reduction of Elliptic Curves

  • 超越数論における Baker Method

  • Heegner Points and Derivations of L-Series --- Gross-Zagier の仕事の紹介

  • 類数問題と Goldfeld-Gross-Zagier の仕事

  • Height について

  • On Transcendence Theory on Function Fields

(この記録は第1回(1989年）から第26 回（2014年）まで佐藤篤が，第27・28回は若林功が，第29〜33回は安福悠が作成した．文責：佐藤篤，若林功，安福悠)