ゼータ関数の平均値定理と Mellin-Barnes 型積分

桂田昌紀

慶應義塾大学経済学部

この講義では，ゼータ関数の平均値に Atkinson の方法と Mellin-Barnes 型積分表示を応用して，その漸近展開を導くことを二つの問題を例にとって解説する．以下これについて詳しく述べよう．

リーマンゼータ関数 ζ(s) やディリクレ L 関数 L(s, χ) の臨界領域 0 < Re s < 1 における虚軸方向の漸近的ふるまいを研究することは，著名なリーマン予想やリンデレーフ予想へのアプローチの一つとして極めて重要である．ここで調べたい量の平均値をとることで解析的整数論における種々の方法を有効に活用することができ，単独の対象を考察するよりも鋭い結果が期待される．論文 [1] では、 Heath-Brown (1981), Motohashi (1985) らによって研究されてきた，法 q の全ての指標 χ に対する L(s, χ) の２乗平均

∑_{χ(modq)} |L(s, χ)|^{2}

の q^{−1} に関する漸近展開を最良の形に決定したが，ここでは二乗平均を各々独立な変数を持った２つの関数の積の特殊な場合とみなして考察する，いわゆる Atkinson (1949) の方法が中心的な役割を果たす．この問題の場合には u, v を独立変数として積 L(u, χ)L(v, \overline{χ}) （\overline{χ} は χ の共役指標）を考察することになるが，その際の本質的困難はこれから派生する二変数二重ゼータ関数の解析である．本講義の前半部では，この二重ゼータ関数に対し Mellin-Barnes 型積分表示を導入することで， [1] で導かれた漸近展開の簡明かつ見通しの良い別証明を与える．

他方，フルビッツゼータ関数 ζ(s, α) は ζ(s) の各項を α(> 0) だけシフトしたものとみなすことができ， ζ(s, α) の漸近的ふるまいの α に関する平均を考えることで，本来の ζ(s) へのフィードバックが期待される．論文 [2] では Koksma & Lekkerkerker (1952) 以来多くの数学者によって研究されてきたパラメタ α に関する ζ(s, α) の２乗平均

∫_{0}^{1} |ζ(s, α) − α^{−s}|^{2}dα

（ここで ζ(s, α) の α = 0 における特異性を除くため α^{−s} の項を取り去っている）に対し， (Im s)^{−1} に関する完全な漸近展開を与えた．本講義の後半部では，前述の Atkinson の方法に Mellin-Barnes 型積分表示を組み合わせることで，上述の漸近展開の [2] とは異なる証明を与える．ここで Mellin-Barnes 型積分表示を導入することのメリットとして，議論が簡明かつ見通しの良いものとなるだけではなく，ガウスの超幾何関数の変換公式・隣接関係式・特殊値の公式などを組織的に応用することができ， [2] の複雑な計算の背後に超幾何関数の諸性質が内在していることが示される．

なお，講義の最初の部分では，漸近展開に関する基本的事項についてまとめて解説する予定である．

参考文献

[1] M. Katsurada and K. Matsumoto, Asymptotic expansions of the mean values of Dirichlet L-functions, Math. Z. 208 (1991), 23–39.

[2] M. Katsurada and K. Matsumoto, Explicit formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwitz zeta-functions I, Math. Scand. 78 (1996), 161–177.